Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Пусть система находится в чистом состоянии и характеризуется вектором \ф). Согласно (24.5) среднее значение физической величины F в этом состоянии можно представить в виде
Р = '^2(‘Ф\<Рп)((Рп\Р\(Рп'){<Рп'\Ф), (28.1)
пп'
где {(fn} — некоторый базис пространства состояний. Легко видеть, что это соотношение можно записать и так:
F = = ^{ipn\Fp\Vn),
пп' п
F = Sp(Fp), (28.2)
где
(<рп'\р\<рп) = (<Рп'\Ф)(Ф\<Рп) (28.3)
есть матрица, полностью определяемая состоянием системы |ф) и выбранным базисом Эта матрица называется матрицей
плотности состояния.
Из определения (28.3) следует, что
Р= \Ф)(Ф\ (28-4)
есть оператор проектирования на вектор состояния |ф). Этот оператор называется статистическим оператором состояния. Таким образом, матрица плотности есть матрица статистического оператора состояния.
Матрица плотности состояния зависит от того, какое выбрано представление, т. е. базис Точно так же матрица оператора
118
Раздел 1
физической величины F зависит от выбора представления. Однако среднее значение F, даваемое формулой (28.2), от выбора представления, конечно, не зависит, так как согласно (24.28) след матрицы во всех представлениях имеет одно и то же значение.
Из определения (28.3) непосредственно вытекают следующие свойства статистического оператора и матрицы плотности.
1) Р+ = Р, (28.5)
т. е.
(<рп<\р\<рп) = {<рп\р\<рп')*- (28.6)
Это значит, что статистический оператор эрмитов.
2) (28.7)
т. е. диагональные элементы матрицы плотности всегда неотрицательны. Это значит, что статистический оператор является положительно определенным.
3) Spp= {ф\ф) =1, (28.8)
т. е. статистический оператор имеет единичный след.
4) р2 = р. (28.9)
5) 0 ^ (ifn\p\ifn) ^ 1. (28.10)
Это соотношение является прямым следствием (28.7) и (28.8).
Теперь предположим, что оператор F имеет чисто дискретный спектр, а {срп} — множество его собственных функций:
F(pn=Fncpn. (28.11)
В представлении этих функций соотношение (28.2) принимает вид
F^FniVnWVn)- (28.12)
П
Сравнивая это выражение с (2.8), видим, что
W(Fn) ее (уп\р\уп) (28.13)
есть вероятность того, что физическая величина F в данном состоянии примет значение Fn, если Fn невырождено. В случае вырождения для получения этой вероятности надо аналогично (2.24) произвести суммирование W(Fn) по всем тем значениям п, для
Лекция 7
119
которых Fn одинаково. Заметим, что свойство (28.10) находится в полном согласии с вероятностным смыслом W(Fn).
Эволюция во времени вектора состояния \гр) определяется уравнением Шредингера (6.1). Поэтому статистический оператор (28.4) этого состояния, как легко проверить подстановкой (28.4) в (6.1), удовлетворяет уравнению
= [Н, р\, (28.14)
которое можно назвать уравнением движения для статистического оператора.
Описание чистого состояния с помощью введенного статистического оператора совершенно эквивалентно описанию с помощью вектора состояния. Однако эта новая форма старого содержания позволяет сделать важное обобщение на случай произвольного смешанного состояния.
§ 29. Статистический оператор и матрица плотности для описания смешанного состояния
Для описания смешанного состояния надо сформулировать новую систему постулатов, которая в частном случае чистого состояния должна переходить в те постулаты, которые были рассмотрены в лекции 1 и переформулированы в § 28.
Каждому состоянию квантовой системы поставим в соответствие некоторый положительно определенный эрмитов оператор р с единичным следом, действующий в абстрактном гильбертовом пространстве. Он называется статистическим оператором данного состояния. Матрица статистического оператора называется матрицей плотности состояния.
В функциональном анализе доказывается, что любой положительно определенный эрмитов оператор с конечным следом имеет чисто дискретный спектр. Обозначим через {рп} и {фп} множество собственных значений и собственных векторов статистического оператора данного состояния:
Р\Фп) = Рп\Фп) {Фп\Фт) = $nrri' (29.1)
Из положительной определенности р следует
Рп> 0,
(29.2)
120
Раздел 1
а из условия
Spp = 1 (29.3)
имеем
Y,Pn = 1, (29.4)
где суммирование проводится по всем собственным значениям статистического оператора.
Множество собственных векторов {фп} оператора р как множество собственных векторов эрмитова оператора с чисто дискретным спектром является полным набором. Поэтому в соответствии с (23.21) имеем
Y&n = I, (29.5)
где п
&п = ШШ (29.6)
есть оператор проектирования на собственный вектор оператора р. Действуя оператором р на обе части равенства (29.5), полу-
чаем
p = Y,Pn&n- (29.7)
П
Это есть разложение статистического оператора по операторам ?Рп проектирования на его собственные векторы.
Далее постулируется, что среднее значение физической величины F в состоянии, описываемом статистическим оператором р, дается формулой
F = Sp (pF). (29.8)
Подставляя сюда разложение (29.7), получаем
F = Y,PnSp(&nF). (29.9)
Предположим, что оператор F имеет чисто дискретный °ПеКТР: F\<pn) = Fn\<pn). (29.10)
Тогда аналогично (29.7) имеем
F = Y,FnPn, (29.11)
