Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Теперь рассмотрим случай перехода от исходного к некоторому произвольному представлению. Обозначим через S линейный оператор соответствующего преобразования волновых функций. Пусть ф — волновая функция некоторого состояния в исходном представлении, тогда волновая функция этого же состояния в другом представлении есть
ф' = Бф.
(19.1)
78
Раздел 1
Нормировка волновой функции не должна зависеть от выбора представления, т. е.
<S^> = (Ф\Ф), (19.2)
ИЛИ
(§+§ф\ф) = (ф\ф).
Отсюда следует, что оператор S должен удовлетворять условию
S + S = f, (19.3)
т. е. должен быть унитарным (2).
Покажем, что скалярное произведение любых двух векторов ф\ и ip2 является инвариантом при изменении представления. Имеем
ф[=8фЪ ^2 = ^2,
(ф[\ф>2) = (Бф^) = (</>1|?+ЗД = (ФгШ,
т. е.
(Ф'М) = <-0i|"02)- (19.4)
Пусть теперь F — некоторый линейный оператор в исходном представлении, a F' — соответствующий оператор в новом представлении. Выразим их друг через друга. Для этого допустим, что оператор F переводит произвольную функцию ф\ в функцию ф2, т. е.
Ф2 = Fip\. (19.5)
Тогда F' должен переводить ф[ в ф'2, т. е.
ф'2=Р'ф[. (19.6)
Используя (19.1), получаем
§ф2 = Р'Бф!.
Умножим обе части этого равенства слева на и учтем условие унитарности (19.3); тогда получим
Лекция 5
79
Сравнивая это выражение с (19.5), получаем
F = S + FfS. (19.7)
Умножая обе части этого равенства слева на S, а справа на 5+, получаем
F' = SFS+. (19.8)
Формулы (19.7) и (19.8) устанавливают связь между различными представлениями оператора некоторой физической величины F.
Итак, при изменении представления волновые функции, описывающие различные состояния системы, подвергаются унитарному преобразованию (19.1). Одновременно по закону (19.7) преобразуются операторы всех физических величин.
Важно отметить, что при изменении представления все алгебраические соотношения между операторами остаются неизменными. Пусть, например, в одном представлении имеет место равенство
АВ = С.
Тогда в другом представлении левая часть принимает вид А'В' = SAS+ ¦ SBS+ = SA(S+S)BS+ = S(AB)S+ = SCS+, что равно правой части в этом же представлении, т. е.
А'В' = С'.
Поэтому, например, все коммутационные соотношения имеют один и тот же вид во всех представлениях.
Теперь убедимся в том, что все физические характеристики состояний инвариантны относительно любого унитарного преобразования векторов и операторов. Действительно, все физические величины и их распределения могут быть представлены в виде скалярных произведений некоторых векторов, которые в силу (19.4) не зависят от выбора представления.
В качестве примера рассмотрим среднее значение некоторой величины F в состоянии ф:
F = ('ip’lF'l'ip') = {Sxp\SFS+\Sxp) =
= {S^SF-ip) = (tp\S+SFilj) = (ф\Р\ф),
т. е.
mp'W) = шр\ф).
80
Раздел 1
Следовательно, все представления, связанные друг с другом унитарными преобразованиями, являются эквивалентными. Так мы их и будем называть.
§ 20. Преобразования числовых функций и операторов при сдвиге и повороте системы отсчета
Как в классической, так и в квантовой механике часто приходится преобразовывать числовые функции из одной системы отсчета в другую. По существу это преобразование является чисто геометрическим и никак не связано с физическими особенностями системы. Рассмотрим этот математический вопрос на примере перехода в систему отсчета, которая сдвинута или повернута относительно исходной системы отсчета.
При сдвиге или повороте системы отсчета происходит преобразование координат точек пространства. Пусть Р есть некоторая точка физического пространства, г = {х, у, z} — координаты ее радиус-вектора в исходной системе отсчета X, а г' = = {xr, у', z'} — координаты радиус-вектора этой же точки Р в системе К', которая получилась из К в результате сдвига или поворота координатных осей. Тогда
где g(rj) — оператор преобразования, зависящий от неокторых параметров rj, определяющих величину и направление сдвига или поворота.
При сдвиге системы отсчета на вектор а преобразование (20.1) имеет вид
г = г — а. (20.2)
При повороте осей системы отсчета на бесконечно малый угол 5а вокруг оси, проходящей через начало координат параллельно единичному вектору п, преобразование (20.1), как нетрудно непосредственно проверить, можно записать в виде
где [п х г] есть векторное произведение векторов п и г.
Найдем закон преобразования числовой функции при переходе от одной системы отсчета к другой. Пусть г) есть некоторая функция, заданная в системе отсчета К. Это значит, что точке Р физического пространства, имеющей в системе отсчета К координаты г = {х, у, z}, сопоставляется некоторое число
г' = g(rj) г,
(20.1)
г' = г — <$а[п X г]
(20.3)
Лекция 5
81
с = if (г). В системе отсчета К' та же точка Р будет иметь другие координаты г' = {xr, yr, z'j, которые связаны с координатами г формулой (20.1). Нам надо найти закон преобразования заданной функции ср(г) при переходе из системы отсчета К в систему К'. Это значит, что мы должны найти такую функцию у/(г'), которая сопоставляет точке Р физического пространства то же число с, которое ей сопоставляет функция ср(г). Следовательно, функция cpf(rf) определяется соотношением
