Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что в квантовой механике все распределения физических величин выражаются через скалярные произведения (Ь\а) векторов |а) и \Ь) абстрактного гильбертова пространства Ж. Самостоятельный смысл можно придать не только правой части |а) этого скобочного обозначения, но и его левой части (Ь|. Для этого надо рассмотреть множество всех линейных непрерывных функционалов (числовых функций), которые можно построить в абстрактном гильбертовом пространстве Ж. Это множество называется в математике сопряженным пространством и обозначается символом Ж*. Замечательной особенностью пары пространств Ж и Ж* является то, что любой элемент ср пространства Ж* можно представить в виде
ср(а) = (Ъ\а), (23.10)
т. е. каждому элементу ср Е Ж можно поставить во взаимно одно-
Лекция 5
95
значное соответствие вектор |Ь) Е Ж; это соответствие является изоморфизмом. Следовательно, символ (Ь| можно рассматривать как обозначение некоторого линейного непрерывного функционала в пространстве состояний Ж.
Обозначения |а) и (Ь\ были введены Дираком. Он же предложил специальные названия для этих объектов: «бра» (bra) для (Ь| и «кет» (ket) для |а). Эти термины являются частями английского слова bracket (скобка) и соответствуют тому, что значение функционала (Ь| на векторе |а) дается полным скобочным символом (Ь\а). Поскольку согласно (1.5)
(Ъ\а) = (а\Ъ)*, (23.11)
значение функционала (Ь\ на векторе |а) совпадает с комплекс-но-сопряженным значением функционала (а | на векторе |Ь).
В качестве примера, иллюстрирующего удобства обозначений Дирака, найдем обобщенную собственную функцию оператора координаты по известной обобщенной собственной функции оператора импульса. Согласно (15.6) для последней функции имеем
V’p(r) = (г|р) = (2тгЙ)_3/2ехр(|рг). (23.12)
Используя (23.11), отсюда получаем
<р|г) = (г|р)*,
т. е. обобщенная собственная функция оператора координаты в импульсном представлении есть
?>г(р) = (р|г) = (2тгЙ)“3/2ехр(-|рг). (23.13)
Этот результат, конечно, совпадает с (18.12) (см. также упр. 4.6).
Итак, сочетание бра (Ь\ с кет |а), стоящим справа от него, есть скалярное произведение (Ь\а), т. е. число. Определенный смысл имеет также сочетание бра с кет, стоящим слева от него:
Р=\Ь)(а\. (23.14)
Пусть |?) есть некоторый кет, тогда
Р\0 = \Ъ)Ш, (23.15)
т. е. по отношению к любому кет |?), стоящему справа, Р есть линейный оператор, переводящий в кет |Ь), умноженный на комплексное число (а |?). Теперь пусть (^| есть некоторый бра, тогда
(?\Р=т(а\, (23.16)
96
Раздел 1
т. е. по отношению к любому бра (?|, стоящему слева, Р есть антилинейный оператор, переводящий его в бра (а |, умноженный на комплексное число (?| Ъ).
Рассмотрим частный случай:
Рт = \frri) {(Рт\ч (23.17)
где {|^m)}i° — некоторый полный ортонормированный набор векторов. Пусть |?) — некоторый произвольный вектор, тогда
Рт№ = \<Рт)(<Рт№- (23.18)
Легко видеть, что это есть кет, который является проекцией вектора |?) на базисный вектор |срт), т. е. Рш есть оператор проектирования произвольного вектора |?) на базисный вектор |(рш). Далее рассмотрим оператор
оо оо
МЫ- (23.19)
771=1 771=1
Согласно (23.18) получаем
оо оо
Р\0 = Е = Е \<Pm){<Pm\i)- (23.20)
771=1 771=1
Поскольку набор {|^m)}i° по условию является полным, это выражение имеет смысл разложения вектора |?) по ортонормирован-ному базису. Поэтому
р\0 = ю,
т. е.
Р = Т.
Итак,
оо
X>"*>^ml =1 (23-21)
771=1
т. е. единичный оператор всегда может быть представлен в виде суммы операторов проектирования на каждый из векторов любого полного набора.
Предположим, что векторы {\fm}}1 являются собственными векторами некоторого оператора F, т. е.
F\ipm) = Fm\ipm). (23.22)
Лекция 5
97
Действуя оператором F на обе части равенства (23.21) и принимая во внимание (23.22), получаем
оо
F=J2 ршРш. (23.23)
771=1
Это разложение оператора F по операторам Рш проектирования на его собственные векторы называется спектральным представлением оператора F.
Упражнения к лекции 5
5.1. Построить в импульсном представлении гейзенберговский оператор координаты x(t) для свободного движения частицы.
5.2. Построить в импульсном представлении гейзенберговские операторы x(t) и p(t) для линейного гармонического осциллятора.
5.3. Найти уравнение движения для операторов в так называемом «представлении взаимодействия». Волновые функции в этом представлении получаются из волновых функций в представлении Шредингера с помощью унитарного преобразования:
^вз = ехр^Яо^^ш, где Щ — часть полного гамильтониана Н = Hq + V, V — оператор «взаимодействия».
5.4. Найти среднее значение и дисперсию энергии линейного гармонического осциллятора с потенциальной энергией V(x) = (/i/2)ио2х2 в состоянии (22.15).
5.5. Найти среднее значение и дисперсию энергии свободной частицы в состоянии (22.15).
5.6. Оценить скорость расплывания волновых пакетов, описывающих свободное движение следующих частиц:
а) электрон, первоначально локализованный в области диаметром 10 8 см;
б) нейтрон, первоначально локализованный в области диаметром ~ 10“13 см;
