Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Запишем в ^-представлении оператор скорости изменения некоторой физической величины F в системе, которая описывается гамильтонианом Н. В соответствии с формулой (8.1) имеем
§ = 4^ ")•
(24.37)
106
Раздел 1
если оператор F не зависит явно от времени. В ^-представлении получаем
Ч>Т
dF 1 \ / dF
III = (п dt
т) = -±(n\FH-HF\m) =
-i(?(n\F\l)(l\H\m) - J2(n\H\k}(k\F\m))
I I
= EmFni5im - ^2 EkFkn
т. е.
dF
dt
то) = |(Еп - Em){n\F\m)
(24.38)
Применим полученное соотношение для вычисления матрицы оператора импульса частицы, движущейся в некотором потенциальном поле V(r). Согласно упражнению 2.2 оператор импульса частицы следующим образом связан с оператором координаты:
p = fiTf
В ^-представлении получаем
(п\р\т) = ц(п ^ m) = jr(En ~ Ет)(п\г\т).
(24.39)
§ 25. Матрицы операторов физических величин для линейного гармонического осциллятора. Операторы рождения и уничтожения квантов колебаний
Найдем матрицы операторов координаты, импульса и энергии для линейного гармонического осциллятора. Проще всего найти эти матрицы в представлении собственных функций гамильтониана осциллятора, т. е. в энергетическом представлении.
Используя функции (11.18) и рекуррентные соотношения (Д6.6), (Д6.7) для полиномов Эрмита с учетом условия ортонор-
Лекция 6
107
мированности (11.24), непосредственно получаем:
(Фп\%\Фт) — \ 21 “I- л/?2 Н- l^m,n+l)? (25.1)
I hflLO
Ып5 т,п— 1
\Jn + l(^m,ra+l)> (25.2)
где — собственные функции гамильтониана осциллятора.
Таким образом, искомые матрицы имеют следующий вид:
х =
I п
2/iu)
(о VI о о о ..Л
VI 0 V2 о о
О \/2 0 л/3 О
О 0 л/З 0 л/4
V
(25.3)
/
Р =
О -vT ООО VI 0 —v/2 О О
О v/2 0 -а/3 О
О 0 л/З 0 -\/4
.....................................
Л
/
(25.4)
Замечательной особенностью этих матриц является то, что отличны от нуля только те элементы, которые соответствуют соседним стационарным состояниям осциллятора.
Матрицу оператора энергии мы можем найти без всяких вычислений, так как знаем его собственные значения (11.19):
{-фп\Н\фт) = hw ( П + 2 )$пт-
Далее рассмотрим оператор
/ [ICO ^
\/2 fihco
р,
(25.5)
(25.6)
являющийся линейной комбинацией операторов координаты и импульса. Подействуем этим оператором на собственную функцию фп гамильтониана осциллятора. Согласно (24.9) имеем
&Фп — ^ '{Фиг \ &\Фп)Фт — ^ ^ ( А/ ofe ^тп —зг—Ртп ) Ф',
ш ш W 2П VW^ /
108
Раздел 1
Подставляя сюда (25.1) и (25.2), получаем
афп = у/пгрп-1. (25.7)
В § 11 мы видели, что в состоянии грп имеется п квантов
колебаний с энергией hw. Следовательно, действие оператора а на произвольное стационарное состояние осциллятора приводит к уменьшению энергии на один квант. Поэтому оператор и называют оператором уничтожения кванта колебаний.
Далее рассмотрим действие оператора а+. Совершенно аналогично получим
а+фп = Vn + 1фп+1- (25.8)
Этот оператор приводит к увеличению энергии на один квант и называется оператором рождения кванта колебаний.
Из (25.7) и (25.8) имеем
а+афп = пфп. (25.9)
Следовательно, фп является собственным состоянием оператора а+а, принадлежащим собственному значению п. Поэтому оператор а+а называется оператором количества квантов колебаний с энергией Тшо.
Операторы а, а+ широко используются в квантовой электродинамике для описания процессов взаимодействия фотонов с электронами.
§ 26. Когерентные состояния линейного гармонического осциллятора
В квантовой оптике, а также в некоторых других разделах физики широко используются так называемые когерентные состояния, которые можно определить как собственные состояния оператора уничтожения (25.6) кванта колебаний:
a\z) = z|z), (26.1)
где z есть соответствующее собственное значение.
Будем искать вектор | z) в виде разложения по векторам |п) стационарных состояний (11.18) линейного гармонического осциллятора:
оо
\z) = ЕН2) \п)¦ (26.2)
71 = 0
Лекция 6
109
Для определения коэффициентов разложения (n\z) составим скалярное произведение левой и правой частей уравнения (26.1) с вектором | п):
Это рекуррентное соотношение позволяет выразить (n\z) через
Вектор (26.10) удовлетворяет уравнению (26.1) при любом комплексном значении г. Следовательно, спектр оператора а уничтожения кванта занимает всю комплексную плоскость. В этом нет ничего удивительного, поскольку оператор а, как это следует из его определения (25.6), не является эрмитовым. С этим же обстоятельством связано отсутствие ортогональности собственных векторов |г), принадлежащих различным собственным значениям. Действительно, из (26.10) получаем
(n\a\z) = z(n\z). Используя (2.2) и (25.8), находим
(26.3)
(n\a\z) = \Jn + 1 (п + 1| z). Подставляя это выражение в (26.3), получаем
(26.4)
(п + 1| z) = [z/л/п + l](n\z).
(26.5)
(0\z):
(n\z) = -??={0\z). yn\
(26.6)
Теперь (26.2) принимает вид
оо
(26.7)
Из условия нормировки
(26.8)
находим
(0|z) = ехр(—|z|2/2)
(26.9)
ОО
(26.10)
(zi|z2) = ехр(—i(|^i|2 + \z2\2) + zlz2^, (26.11)
|(zi|z2)| = exp(-||zi - z2|2). (26.12)
110
Раздел 1
Отсюда видно, что только при
1*1 -z2\ > 1 (26.13)
векторы \z\) и \z2) приближенно ортогональны.
