Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
т. е. S = {SVnnlm п=1 есть матрица линейного преобразования набора {(fn}i° в набор {фп}^. Поскольку оба этих базиса орто-нормированы, матрица S унитарна:
SS+ = f. (24.18)
Пусть ф(?) есть вектор некоторого состояния в пространстве 1/2. В 5-представлении в пространстве I2 ему соответствует вектор
* = {ШФ)}?, (24.19)
а в G-представлении — вектор
Ф'= {<?>» №>}i°- (24.20)
Найдем связь между этими двумя векторами в I2. Используя определение (24.16), получаем:
{<Рп\Ф) = (<Лг| ^(ФтЩФт) =
т
= ^{^Рп |Фт) {Фт |Ф) = ^ ^ Snrn (фт \Ф) ?
m m
т. е.
Е ?>пт
(фт\ф), (24.21)
т
ИЛИ
Ф' = 5Ф. (24.22)
Таким образом, и в матричной формулировке квантовой механики преобразование вектора состояния при переходе от одного представления к другому является унитарным. Поэтому для получения закона преобразования операторов мы можем воспользоваться теми результатами, которые были получены в § 19, где рассматривались произвольные унитарные преобразования линейного пространства. Пусть F есть оператор в 5-представлении, a F' — соответствующий оператор в G-представлении. Согласно (19.8) они связаны соотношением
F' = SFS+. (24.23)
Отсюда получаем соотношение между матрицами оператора в этих представлениях:
Кпг = Е SnkFkpS+m = ? SnkFkpS*mp, (24.24)
kp kp
Лекция 6
103
или
{4>n\F \(Рт) = ^ | Фк) {Фк\F\фр) {фр\(Рт) • (24.25)
кр
Преобразования из G-представления в ^-представление сразу получаются из (24.22) и (24.23):
Ф = S+Ф', (24.26)
F = S+F'S. (24.27)
Заметим, что, используя разложение (23.21) единичного оператора, можно сразу получить любую из выведенных в этом параграфе формул перехода от одного представления к другому. Получим, например, формулу (24.25):
i(pn\F\(Prn) = ((fn\I ’ F • I\(pm) =
оо оо
= (*„|($»<lW) - F- =
к=1 р= 1
= ^2(Vn\^k){^k\F\^p)(i^p\ipm)-кр
Отметим одну важную особенность матричного представления операторов: при изменении представления след матрицы оператора не изменяется. Действительно,
Sp F' = Sp (SFS+) = Sp (S+SF) = Sp F. (24.28)
Мы воспользовались здесь унитарностью матрицы S и тем, что след произведения матриц не изменяется при циклической перестановке сомножителей.
Оператор F в представлении своих собственных функций {фп}Т имеет диагональный вид
(V’nHV’m) = Fm5nm, (24.29)
где {Fm} 1° — множество всех собственных значений оператора F. Поэтому из (24.28) получаем
Sp F' = Sp F = Fn¦ (24.30)
П
104
Раздел 1
2. Задача на собственные значения
В пространстве 1/2 уравнение на собственные значения оператора F имеет вид
F^)=FnM0-
(24.31)
Сведем эту задачу к задаче на собственные значения соответствующей матрицы.
Выбирая в качестве базиса в 1/2 множество собственных векторов {(fm}i° некоторого эрмитова оператора G, имеющего чисто дискретный спектр, получим образ этого уравнения в пространстве I2'.
Fkr
>(n) = Fr,a^n)
771=1
где
— {^Рт\Фп) 1 Fkrn — (ifk\F\фш) •
(24.32)
(24.33)
В этом уравнении неизвестными являются собственные значения Fn и — компоненты собственного вектора фп
в G-представлении.
Представим (24.32) в виде
оо
Е
771=1
(Fkrn ~ Fn8km)(^m = к = 1, 2, 3, . . .
(24.34)
Это есть бесконечная система алгебраических линейных однородных уравнений относительно величин {а^ }m=i- Система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы ее коэффициентов равен нулю:
det Ц-F/cm Fn5km\\ — 0,
(24.35)
т. е.
Fi 1 — Fn F12 F13
F21 F22 — Fn F23
F31 F32 F33 — Fn
= 0.
(24.36)
Это есть алгебраическое уравнение бесконечного порядка относительно Fn. Оно называется секулярным, или вековым, уравнением (название заимствовано из астрономии).
Лекция 6
105
Корни этого уравнения F\, F2, F3, ... являются собственными значениями оператора F. Поскольку F — эрмитов оператор, можно утверждать, что все эти корни вещественные. Каждому корню Fn соответствует один или (в случае вырождения) несколько собственных векторов а^ = {affl}m=i> каждый из которых является решением системы уравнений (24.34) при данном значении Fn. Если спектр оператора F чисто дискретный, то множество всех собственных векторов бесконечно и образует полный
набор в I2.
Оператор F в представлении своих собственных векторов {фп}i° имеет диагональный вид (24.29). Поэтому о решении системы уравнений (24.34) говорят как о приведении оператора F к диагональному виду, или о диагонализации этого оператора. Мы видим также, что решение этой системы эквивалентно нахождению такого унитарного преобразования базиса {(рт}i°> что в представлении векторов нового базиса {фп}i° оператор F принимает диагональный вид. Таким образом, задача решения уравнения (обычно дифференциального) на собственные значения эрмитова оператора в пространстве L2 путем использования матричной формы векторов и операторов может быть сведена к решению бесконечной системы алгебраических линейных однородных уравнений.
3. Энергетическое представление
Особое значение в квантовой механике имеет представление, задаваемое полным набором {(рт}i° собственных функций гамильтониана системы:
Н<рт{0 = Етфт{?). (6.24.36а)
Это представление называется энергетическим, или ^-представлением. В ^-представлении можно установить некоторые специфические соотношения между матричными элементами операторов, которых нет в других представлениях.
