Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
v
114
Раздел 1
где z(t) определяется формулой (26.29). Окончательно получаем
Этот результат согласуется с решением (13.13) для движения осциллирующего волнового пакета при р0 = 0.
Следовательно, рассмотренный раньше осциллирующий волновой пакет представляет собой когерентное состояние. В § 13 мы показали, что замечательной особенностью этого состояния является то, что оно минимизирует соотношение неопределенностей (13.5) для координаты и импульса. В этом смысле когерентные состояния в наибольшей степени соответствуют движению классического осциллятора по траектории. При этом степень «классичности» движения тем больше, чем больше энергия осциллятора, определяемая согласно (26.21) параметром г.
6.1. В ^-представлении найти матричные элементы координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.
6.2. Выполнить упражнение 3.7, используя выражения (25.1) и (25.2) для матричных элементов координаты и импульса.
6.3. В представлении собственных функций гамильтониана линейного гармонического осциллятора построить матрицы операторов а, а+ и а+а, где а задается формулой 25.6.
6.4. Используя явный вид оператора а, найти в ж-представ-лении волновую функцию фо(х) основного состояния линейного гармонического осциллятора.
г
ехр -
sin 2 cut—
Упражнения к лекции 6
6.5. То же для волновых функций ф\(х) и гр2(%) первого и второго возбужденных состояний линейного гармонического осциллятора. Сравнить результат с (11.22) и (11.23).
Лекция 6
115
6.6. Указать, при каких соотношениях между пип' обращаются в нуль матричные элементы (n\F\nr) оператора F в представлении собственных функций гамильтониана линейного гармонического осциллятора:
где (п\егкх\0) — матричный элемент оператора егкх, связывающий основное (п = 0) и n-е состояния линейного гармонического осциллятора.
6.8. Вычислить сумму
где (п\х\1) — матричный элемент оператора х, связывающий основное (п = 1) и n-е состояния частицы в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь х — расстояние от середины ямы.
6.9. Найти собственные значения и собственные векторы следующих операторов:
где А, а — некоторые вещественные константы.
6.10. Найти вещественные собственные функции операто-
функции с собственными функциями оператора Lz (см. упр. 1.10). Проверить унитарность этих матриц.
6.11. Показать, что следующие матрицы являются эрмитовыми и унитарными:
a) F = х2, б) F = хрх, в) F = х3, г) F = sin ах, д) F
= cos ах.
6.7. Вычислить сумму
оо
71=1
ОО
71=1
pa L2. Построить матрицы преобразования, связывающего эти
116
Раздел 1
ЛЕКЦИЯ 7 § 27. Чистые и смешанные состояния
До сих пор мы исходили из положения о том, что каждому состоянию квантовой системы может быть сопоставлен элемент гильбертова пространства — вектор состояния. Однако нетрудно привести пример ситуации, когда такое сопоставление невозможно.
Для этого рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем 1 и 2 и находящуюся в состоянии с волновой функцией ?2), где ?1? ?2 — динамические переменные первой и второй подсистем. Если эта функция может быть представлена в виде произведения
ШиЬ) = МС1)МЬ), (27.1)
то фi(?i) и ^2 (?2) имеют смысл волновых функций, описывающих состояния каждой из подсистем. Если же такая факторизация волновой функции системы невозможна, индивидуальные состояния подсистем не могут быть описаны волновыми функциями. Другими словами, в этом случае не существует элемента гильбертова пространства одной подсистемы, который позволил бы найти распределения всевозможных физических величин, характеризующих эту подсистему.
Нетрудно проверить, что факторизация (27.1) всегда имеет место, если подсистемы не взаимодействуют друг с другом. В противном же случае волновая функция системы, вообще говоря, не представляется в виде произведения волновых функций подсистем. Поскольку, строго говоря, изолированных подсистем в природе не существует, в общем случае физические свойства подсистемы не могут быть описаны какой-либо волновой функцией. Отсюда следует, что сопоставление состояниям подсистемы отдельных векторов гильбертова пространства является идеализацией, применимой в тех случаях, когда можно пренебречь взаимодействием рассматриваемой подсистемы с другими телами. Так, например, сопоставляя волновую функцию ф(? 1, ?2) нашей системе, мы пренебрегаем взаимодействием этой системы со всеми другими. Считая, что ф(? 1, ?2) имеет вид произведения (27.1), мы пренебрегаем взаимодействием подсистем друг с другом.
Состояние, которое с хорошей степенью точности может быть описано вектором гильбертова пространства, называется чи-
Лекция 7
117
стым состоянием. В противном случае состояние называется смешанным. В дальнейшем мы увидим, что смешанному состоянию ставится в соответствие сразу несколько векторов гильбертова пространства. Следовательно, чистое состояние является частным случаем смешанного состояния.
Для описания смешанных состояний используется аппарат матрицы плотности, к рассмотрению которого мы и переходим.
§ 28. Понятие матрицы плотности и статистического оператора (случай чистого состояния)
