Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
П
где
Рп = |^п)(^п| (29.12)
Лекция 7
121
есть оператор проектирования на собственный вектор оператора F. Подставляя разложение (29.11) в (29.8), получаем
F = YJFnW(Fn), (29.13)
П
где
W(Fn) = Sp (рРп) = (<рп\р\<рп). (29.14)
Сравнивая (29.13) с (2.8), видим, что W(Fn) есть вероятность того, что физическая величина F в состоянии р примет значение Fn, если Fn — невырожденное собственное значение. Если же Fn — вырожденное собственное значение, для получения этой вероятности надо аналогично (2.24) произвести суммирование W(Fn) по всем тем значениям п, для которых Fn одинаково. Следовательно, статистический оператор состояния позволяет по формуле (29.14) получить распределения любых физических величин, характеризующих систему, т. е. дает полное описание состояния.
Теперь рассмотрим частный случай, когда только одно собственное значение pj статистического оператора отлично от нуля. Принимая во внимание условие (29.4), в этом случае можем записать
Pn = 6nj. (29.15)
Подставляя (29.15) в (29.7), получаем
Р= = ШШ’ (29.16)
т. е. статистический оператор сводится к оператору проектирования (28.4) и полностью определяется одним вектором |ipj) гильбертова пространства. Таким образом, условие (29.15) является необходимым и достаточным условием превращения смешанного состояния р в чистое состояние |ipj). Легко видеть, что в этом случае формула (29.14) переходит в (28.13). Следовательно, постулат (29.8) в частном случае чистого состояния дает то же распределение вероятностей любой физической величины, что и постулат
о среднем (2.11), введенный в лекции 1.
Заметим, что свойства (29.2), (29.3), (29.4) статистического оператора произвольного смешанного состояния совпадают со свойствами (28.7), (28.8), (28.10) статистического оператора чистого состояния, введенного в § 28. Таким образом, описание смешанного состояния с помощью статистического оператора можно рассматривать как обобщение описания чистого состояния с помощью вектора гильбертова пространства.
122
Раздел 1
Обращаясь к (29.7), мы видим, что произвольное смешанное состояние в определенном смысле является «смесью» чистых состояний \фп), причем роль статистических весов играют собственные значения рп статистического оператора р данного смешанного состояния (согласно (29.2) все {рп} неотрицательны). При этом соотношение (29.4) играет роль нормировочного условия.
Подставляя (29.7) в (29.14), получаем
W(Fn) = J2pmSp(&mPn).
т
Используя (29.6), находим
Sp фтРп) = (4>m\Pn\4>m) ¦
Следовательно,
W(Fn) = Y,PmWm(Fn), (29.17)
т
где
Wm(Fn) = (фт\Рп \Фт) = {<Pn\^m)(^mWn) (29.18)
согласно (28.13) есть функция распределения физической величины F в чистом состоянии {'фт)• Мы видим, что функция распределения в смешанном состоянии является взвешенной суммой функций распределения в чистых состояниях, образующих данное смешанное состояние. При этом весами являются собственные значения статистического оператора данного смешанного состояния.
Интересно сравнить полученный закон композиции распределений с тем, который имеет место для чистого состояния следующего особого вида:
\Ф) = Е y/P^l^rn)- (29.19)
т
Это состояние построено из тех же чистых состояний и с теми же весами, что и смешанное состояние (29.7). Статистический оператор этого состояния есть
Р = \'Ф)('Ф\ = (53 л/Ргп\Фт)^ ] \^Рк(Фк\^
/и к
= ^2рт\Фт)(Фт\ +^2VP Рк\Фт) {Фк\- (29.20)
т тфк
Лекция 7
123
Подставляя этот оператор в общую формулу (29.14), получаем W{Fn) = ^~^pmWm{Fn) + ? VРтРк{Фк\Рп\Фт)¦ (29.21)
гп тфк
Сравнивая это выражение с (29.17), видим, что они отличаются членом ^
^ ^ л/РгпРк {Фк |Рп |Фт) • (29.22)
тфк
Этот член зависит от относительного фазового сдвига функций {фк}- Его можно назвать интерференционным в отличие от первого члена в (29.21), который от этих фазовых сдвигов не зависит. Поэтому говорят, что чистое состояние (29.19) является когерентной смесью чистых состояний \фт) в отличие от смешанного состояния (29.7), которое можно рассматривать как некогерентную смесь тех же чистых состояний.
Таким образом, статистический оператор может быть использован для описания как смешанных состояний, так и чистых. Отметим, что он всегда определяется для данного состояния единственным образом в отличие от вектора состояния, который определяется с точностью до произвольного комплексного множителя с единичным модулем (§ 2).
Существует простой критерий, позволяющий легко определить, чистое или смешанное состояние описывает данный статистический оператор или матрица плотности: в смешанном состоянии всегда
Sp(р2) < 1 (29.23)
(упражнение 7.1), а в чистом
Sp(p2) = 1. (29.24)
Согласно (28.9) в чистом состоянии выполняется более сильное соотношение
р2 = р. (29.25)
До сих пор мы рассматривали описание и свойства смешанного состояния в некоторый фиксированный момент времени. С течением времени состояние, вообще говоря, изменяется. В квантовой механике постулируется, что эволюция произвольного смешанного состояния в представлении Шредингера определяется введенным в § 6 оператором эволюции
