Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
[Яг, рг} - [V(xr), Рг] - ih J' ^
ОХ х=х\
Подставляя эти выражения в (22.1) и (22.2), получаем dxT(t) pr(t)
(22.4)
dt М ’
dpr(t) dV(x) dt dx x=xr'
(22.5)
88
Раздел 1
Это есть система двух операторных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций xr(t) и pr(t), причем начальные условия согласно (21.13) имеют вид
хт(0) = хш, Рг(0) = Рш- (22.6)
Решим эту систему уравнений в случае свободного движения (V = 0):
dxT(t) _ pr(t)
dt ~ м ’
dpr(t)
dt
= 0. (22.8)
Поскольку эти уравнения линейны относительно неизвестных операторов, их можно решать так, как если бы вместо операторов стояли обычные функции. Получаем
Pr(t) = рш, xT(t) = х'ш + (22.9)
Мы видим, что гейзенберговский оператор импульса свободной частицы не зависит от времени и совпадает со шредингеров-
ским оператором импульса. Это находится в соответствии с (21.9), поскольку при свободном движении импульс сохраняется. Гейзенберговский оператор координаты свободной частицы линейно зависит от времени.
Теперь рассмотрим уравнения движения для гейзенберговских операторов координаты и импульса частицы, находящейся в поле линейного гармонического осциллятора:
V(x) = ±iiuj2x2. (22.10)
Имеем
dxT(t) pT(t)
(22.11)
dpT(t) 2
dt
Решая эти линейные уравнения с начальными условиями
(22.6), получаем
xr(t) = хш • cos cut + sin oot, (22.13)
Pr(t) = Рш • cos cot — /шихт sin cot. (22.14)
В этом случае оба оператора периодически зависят от времени.
Лекция 5
89
В § 13 было рассмотрено одномерное движение волнового пакета в поле гармонического осциллятора, а в § 16 — свободное движение того же пакета. При этом использовалось представление Шредингера. Сейчас мы рассмотрим те же задачи в представлении Гейзенберга.
Итак, волновая функция рассматриваемого состояния в представлении Шредингера при t = 0 согласно (16.10) имеет вид
Фш(х, t = 0) = (61/2 exр(-|('Ж b2°^ ) ехр(|р0ж),
(22.15)
где b — некоторая константа, которая согласно (16.12) определяет дисперсии координатного и импульсного распределений в этом состоянии. В соответствии с (21.8) волновая функция состояния в представлении Гейзенберга совпадает с волновой функцией в представлении Шредингера при t = 0, т. е.
грг(х) = фш(х, t = 0). (22.16)
Используя (21.14) и (21.15), можно легко найти среднее значение и дисперсию произвольной физической величины в любой момент времени, если известен оператор этой величины в гейзенберговском представлении.
Начнем со свободного движения. Для операторов координаты и импульса свободной частицы согласно (22.9) имеем следующие выражения в гейзенберговском координатном представлении:
pr(t) = -ihxT(t) = X - (22.17)
Подставляя (22.17) и (22.15) в (21.14) и (21.15), находим:
p(t) = Ро, x(t) =х0 + J^t, (22.18)
А.№ = |;, ¦?>.(*> = f(1 + ^> <22Л9>
Эти результаты совпадают с полученными в § 16.
Для операторов координаты и импульса линейного гармонического осциллятора согласно (22.13) и (22.14) в гейзенберговском
90
Раздел 1
координатном представлении имеем
xr(t) = х coscot + (22.20)
Подставляя (22.20), (22.21) и (22.15) в (21.14) и (21.15), находим
Здесь Ь, ро, х — произвольные параметры.
В § 13 рассматривалось движение осциллятора со специально выбранными значениями параметров
пульса и координаты сохраняются во времени. Эти результаты совпадают с полученными в § 13.
Таким образом, переход к представлению Гейзенберга позволяет значительно упростить нахождение низших моментов распределений физических величин.
§ 23. Понятие вектора состояния. Обозначения Дирака «бра» и «кет»
p(t) = Ро COS Ut — ХоЦОО sin ut,
(22.22)
(22.23)
x(t) = Хо cos cot + po
Dn(t) = -^7 cos2 cot + %-fi2L02 sin2 ut, py J 2b2 2
(22.24)
(22.25)
Po = 0,
(22.26)
Подставляя эти значения в (22.22)-(22.25), получаем:
p(t) = — жо/icj sincjt, = жо cos cot,
(22.27)
(22.28)
Мы видим, что в частном случае b = (Н//ли)1/2 дисперсии им-
В § 18 мы показали, что одно и то же состояние может описываться различными волновыми функциями в зависимости от
Лекция 5
91
выбранного представления. Так, например, в координатном представлении это может быть некоторая функция Ф(г, t), а в импульсном представлении это же состояние в тот же момент времени t будет описываться совершенно другой функцией а(р, t). При этом знание волновой функции в каком-нибудь одном представлении однозначно определяет ее вид в любом другом представлении. Например, зная Ф(г, t), можно по формуле (18.1) найти а(р, t).
Особенностью координатного и импульсного представлений является то, что спектры операторов координаты и импульса непрерывны. Сейчас мы рассмотрим представление, задаваемое некоторым эрмитовым оператором G с чисто дискретным спектром:
Совокупность всех его собственных функций {^n}i° образует полный набор в 1/2, по которому можно однозначно разложить произвольную волновую функцию ф(?, t):
Совокупность коэффициентов разложения {an(t)}f° полностью определяет рассматриваемое состояние и называется волновой функцией этого состояния в представлении собственных функций оператора G, или в G-представлении. Совокупность чисел {an(t)} i° удобно представлять в виде одно столбцовой матрицы с бесконечным количеством элементов:
