Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в отличие от собственных векторов эрмитовых операторов собственные векторы оператора а, принадлежащие непрерывному спектру, имеют конечную норму
Далее рассмотрим вопрос о полноте набора когерентных состояний |z). Для этого надо проверить выполнение условия (2.19), в котором надо положить
df = d2z = d(Rez)d(lmz). (26.14)
Переходя от комплексной переменной z к двум вещественным
переменным р и ср
z = peitp, (26.15)
получаем
d2z = pdpd(p. (26.16)
Подставляя (26.15) в (26.10), находим
/
№)(,Г)<Л = ? х
rrm V п\ ml
27г
[ e%{n~m)vdip f рп+те-р2pdp = irY^{?\n}(n\?)
П П n = 0
Принимая во внимание полноту множества стационарных состояний осциллятора, получаем
j{i\z)(z\i')^=5{i-C). (26.17)
Следовательно, множество когерентных состояний осциллятора является полным набором, а любой вектор пространства состояний может быть представлен в виде разложения по векторам когерентных состояний.
Рассмотрим некоторые физические свойства когерентных состояний. Как видно из (26.10), любое когерентное состояние является линейной комбинацией стационарных состояний, а поэтому
Лекция 6
111
энергия осциллятора в когерентном состоянии не имеет определенного значения. Из (26.10) непосредственно следует, что вероятность того, что энергия осциллятора в состоянии | z) имеет значение
(это есть энергия стационарного состояния |z)), дается выражением
Это распределение можно рассматривать также как распределение количества п квантов колебаний в данном когерентном состоянии. Легко видеть, что это есть распределение Пуассона со средним значением
п = И2. (26.20)
Следовательно, среднее значение энергии согласно (26.18) и (26.20) есть
Мы видим, что параметр z однозначно определяет среднюю энергию когерентного состояния | z).
Далее найдем средние значения координаты х и импульса р в этом состоянии. Используя (26.10) и матрицы (25.1) и (25.2) операторов координаты и импульса осциллятора в энергетическом представлении, получаем
т. е. средние значения координаты и импульса определяются вещественной и мнимой частями z соответственно. Подставляя (26.22) и (26.23) в (26.21), находим
Следовательно, в когерентном состоянии средние значения энергии, импульса и координаты связаны друг с другом так же, как при движении классического осциллятора (с точностью до энергии нулевых колебаний Нсо/2).
(26.18)
(26.19)
E = hu(n+^j =fku(\z\2 + ^j. (26.21)
(26.22)
р = (z\p\z) = ^/2h(iuo Imz,
(26.23)
(26.24)
112
Раздел 1
Теперь рассмотрим изменение когерентного состояния со временем. Согласно (6.2) и (6.3) имеем
\z, t) = U(t, t0)\z, t0), (26.25)
где
U(t,to)=exp(-^H-(t-to)') (26.26)
есть оператор эволюция системы.
Полагая, что при to = 0 вектор \z, to) = \zo) имеет вид (26.10), и принимая во внимание, что
Н\п) = Еп\п), (26.27)
из (26.25) получаем
\z, t) = е—*/2е-|ЗД|2/2 у- № ) jnh
n=0 vn!
т. e.
\z, t) =e-iMt/2\zoe-™t). (26.28)
Это есть закон эволюции когерентного состояния. Отсюда видно, что если в начальный момент времени состояние осциллятора было когерентным, т. е. описывалось собственным вектором оператора уничтожения а, то с течением времени оно продолжает оставаться когерентным, а его параметр зависит от времени по гармоническому закону
z(t) = zoe~luJt. (26.29)
Используя (26.21), (26.22), (26.23) и (26.28), легко проследить за изменением во времени средних значений физических величин. Поскольку
W) I = 1*01, (26.30)
то, как и следовало ожидать, среднее значение энергии не изменяется. Более того, из (26.19) непосредственно видно, что рас-
пределение энергии тоже не изменяется, как это и должно быть для интеграла движения. Для средних значений координаты и импульса получаем
x(t) = хо cos ut + (ро/цш) sinut, (26.31)
p(t) = Ро cos ut — роохо sincjt, (26.32)
Лекция 6
113
где
xq = x(t = 0), р0 = p(t = 0). (26.33)
В §§13 и 22 мы рассматривали движение осциллирующего волнового пакета вида (13.2). Сравнивая (26.31) и (26.32) с (22.23) и (22.22), видим, что законы движения средних значений координаты и импульса осциллирующего пакета и когерентного состояния одинаковы. Более того, сейчас мы покажем, что эти состояния совпадают. Для этого вычислим волновую функцию когерентного состояния (26.10) в координатном представлении, используя выражения (11.18) и (11.20) для волновой функции (х\п) стационарного состояния осциллятора. Получаем
. 12 N
где сумма легко вычисляется с помощью производящей функции (13.10) полиномов Эрмита. Окончательно имеем
(x\z)= — ^ exp(—i Rez-Imz+iVzimz-Y — b (т~V2Rez] , ,/hJ^ V b 2\b J /’
(26.34)
где
y/W*
b = \!jh- (26-35) Подставляя сюда Rez и Imz из (26.22) и (26.23), получаем
<ф> = тЫ ехр(-1^ +'hrx~i2 (ЧгУ) ¦ <2636>
Это выражение с точностью до несущественного постоянного фазового множителя ехр(—ixp/2h) совпадает с волновой функцией (13.2) волнового пакета при t = 0.
Далее найдем волновую функцию когерентного состояния при t> 0. Используя (26.28) и (26.34), находим
ехр(—iuot/2)
\/Ь^рк
+ iV2 Im z(t) • | - i (| - V2 Re z(tj) , (26.37)
(x\z, t) = —^ ----exp (—i Rez(t) • Im z(t) +
