Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, наша задача сводится к решению одномерного уравнения
где v(?) — некоторая непрерывная функция, имеющая непрерывную производную и удовлетворяющая условию квадратичной интегрируемости ф(х). Подставляя (11.9) в (11.6), получаем для v(?) уравнение
Будем искать решение этого уравнения в виде полинома
(Рф(х) 2/i
dx2 h2
х) = 0. (11.6)
Для этого удобно ввести безразмерные величины
(11.7)
где
(11.8)
Будем искать решение уравнения (11.6) в виде
(11.9)
г/'(?) - 2?г/(?) + (е - !>(?) = 0. (11.10)
П
(11.11)
к=0
Подставляя (11.11) в (11.10), получаем
2к + 1 — е
(11.12)
ак+2 (k + l)(k + 2)ak'
Это есть рекуррентное соотношение для коэффициентов искомого многочлена г>(?). Задавая произвольно значения ао и а\, получаем все остальные коэффициенты а2, аз, ..., ап. Величины ао и а* 1
Лекция 3
39
здесь играют роль констант интегрирования дифференциального уравнения 2-го порядка (11.10). Определим их из условий, которым должна удовлетворять функция ф(х), следовательно, и v(?).
Одним из них является квадратичная интегрируемость функции ф{х)\
оо
[ \ф(х)\2 dx = 1. (11.13)
Покажем, что это условие выполняется только в том случае, когда ряд (11.11) содержит конечное количество членов. Для доказательства от противного предположим, что ряд (11.11) с коэффициентами, удовлетворяющими условию (11.12), бесконечен. Поскольку е есть некоторое конечное число, то остаток ряда будет знакопостоянным и при больших значениях к будет сходиться к остатку степенного ряда функции
'?'= ? ("И)
к=0,2,4
Действительно, из (11.12) имеем
ак+2 2 7
при
что совпадает с отношением соответствующих коэффициентов ряда (11.14). Следовательно,
v(?) -> ехр(?2) при ? ^ оо,
Ф{х) = w(^)exp(-|c2) -> exp(-|(f) ) ПРИ ж^±оо,
т. е. ф(х) не является квадратично интегрируемой. Поэтому константы интегрирования ао и а± должны быть выбраны такими, чтобы ряд (11.11) содержал конечное количество членов.
Пусть ап^п будет последним членом ряда, т. е.
ап ф 0, ак = 0 при к > п. (11.15)
В частности, для к = п + 2 получаем
2п + 1 — ? п
ап+2 — , л ч , 0ч &п —
(п + 1)(п + 2)
40
Раздел 1
откуда
2?т, 1 — ? = 0,
т. е. для того, чтобы ряд (11.11) был полиномом степени п, необходимо, чтобы собственное значение г удовлетворяло соотношению
? = 2п + 1. (11.16)
Согласно (11.15) для к = п + 1 имеем
^71+1 = 0*
Отсюда в соответствии с (11.12) и (11.16) следует, что
ап—1 = 0*
Используя рекуррентное соотношение (11.12), последовательно получаем: ап_з = 0, ап-5 = 0, ..., ао = 0 при нечетном п или ап-з = 0, ап_5 = 0, ..., а\ =0 при четном п. Следовательно, другим необходимым условием конечности ряда (11.11) является:
ао = 0, если п нечетно,
’ (П.17)
а\ = 0, если п четно.
Нетрудно видеть, что совокупность условий (11.16) и (11.17) является достаточным условием конечности ряда (11.11), т. е. квадратичной интегрируемости функции (11.9). Таким образом, остается одна произвольная константа (ао ПРИ четном п и а\ при нечетном п). Это находится в соответствии с инвариантностью решений однородного уравнения (11.6) относительно операции умножения на произвольное число. Если выбрать ап = 2П, то полином
п
v(Q = ^2ак?к,
к=0
коэффициенты которого удовлетворяют всем наложенным выше условиям, совпадает с полиномом Эрмита Нп(?) (см. Дополнение 6).
Итак, наша задача на собственные значения (11.6) имеет решения
¦фп(х)=спНп((11.18) соответствующие собственным значениям
Еп = fkj(n + п = 0,1,2,
(11.19)
Лекция 3
41
Таким образом, спектр гамильтониана линейного гармонического осциллятора представляет собой эквидистантную систему энергетических уровней, причем минимальное значение энергии есть Е0 = Ни/2, а расстояние между соседними уровнями равняется Ни. Нормируя собственные функции фп{х/Ъ) на единицу, получим
с„ = {2nn\ir1/2b)~1/2. (11.20)
Теперь видно, что, получив уравнение (11.10), мы могли бы и не проводить дальнейших выкладок, а, сославшись на математику, сразу записать условие (11.16) и выразить решение этого хорошо известного в теории специальных функций уравнения через полиномы Эрмита. В дальнейшем всякий раз, решая задачу на собственные значения гамильтониана, подобную рассмотренной сейчас, мы так и будем поступать.
Нормированные волновые функции первых трех стационарных состояний линейного гармонического осциллятора имеют вид:
фо(х) = —k=exp(-x2/(2b2)), (11-21)
л/Ьфт
ipi(x) = —^=^ехр(-ж2/(262)), (11.22)
у/21ф Ь
Ф2(х) = J—(^- - l) ехр(—ж2/(262)). (11.23)
у/2 60г V Ь ’
Отметим, что количество узлов функции фп(0 есть п, т. е. чем больше энергия состояния, тем сильнее осциллирует волновая функция. Графики первых трех функций приведены на рис. 1.
Плотность распределения вероятности обнаружить частицу в окрестности точки х в соответствии с (1.2) есть рп(х) = = \Фп{х) |2.
На рис. 2 представлены графики этой функции для п = = 0, 1, 2, 10.
Найденный набор функций {фп(%)}о° является ортонорми-рованным:
оо
(Фп\Фгп) = J Фп(х)фгп(х) dx = Snrm (11.24)
— оо
42
Раздел 1
Рис. 1. Волновая функция фп(?) линейного гармонического осциллятора при п — 0, 1, 2
