Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что скорость изменения среднего значения F(t) можно вычислить по общей формуле (2.11) для среднего значения с помощью оператора
который мы назовем оператором скорости изменения физической величины F.
Тогда получаем
Если F не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом системы Н, то среднее значение величины F сохраняется во времени в любом состоянии ф. Такие величины называются сохраняющимися, или интегралами движения для данной системы.
Нам редко придется иметь дело с физическими величинами, операторы которых явно зависят от времени. Операторы таких величин, как координата, импульс, момент количества движения,
Из уравнения Шредингера имеем
Используя это значение производной, получаем
(8.1)
(8.2)
Лекция 2
31
энергия, не зависят, как мы видели, от времени. Для таких операторов условие сохранения физической величины F сводится к требованию коммутативности ее оператора с гамильтонианом системы:
[F, Я] = 0. (8.3)
Подчеркнем, что, как и в классической механике, одна и та же физическая величина F в одних условиях может быть интегралом движения, а в других — нет. Например, если частица движется в сферически симметричном потенциальном поле, то квадрат ее момента количества движения и все три компоненты вектора момента сохраняются. Если же эта частица движется в поле, обладающем лишь осевой симметрией, то из всех названных величин сохраняется только проекция момента на ось симметрии поля (см. упражнения 2.5 и 2.6).
При свободном движении частицы, т. е. когда потенциальная энергия постоянна, сохраняются все три компоненты импульса. В то же время координата частицы никогда не сохраняется (упр. 1.8, в).
Можно доказать, что в любом состоянии распределение любой сохраняющейся величины не меняется со временем (упр. 2.9).
§ 9. Стационарные состояния
Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, то из (8.3) следует, что полная энергия является интегралом движения. Состояния, в которых энергия имеет определенное значение, называются стационарными. Следовательно, стационарные состояния системы описываются собственными функциями оператора полной энергии (гамильтониана):
НфЕ{?,Ь)=ЕфЕ{?,Ь). (9.1)
Тогда уравнение Шредингера (6.1) для t) принимает вид
t)
гП---—---- = ЕфЕ{?, t).
Определяя константу интегрирования из начального условия, получаем решение этого уравнения:
Фе(?, t) = Фе(?, t = 0)exp(-i/hEt). (9.2)
32
Раздел 1
Введем новую функцию
Фе(0 = t = о),
которая не зависит от времени и удовлетворяет уравнению (9.1):
ЩЕ{?)=Е'фЕ{?). (9.3)
Это уравнение для волновой функции стационарного состояния
называют иногда стационарным уравнением Шредингера.
Мы видим, что волновая функция любого стационарного состояния зависит от времени по гармоническому закону, причем частота осцилляций однозначно определяется энергией состояния:
Фе(?, t) = ^B(?)exp(--|.Ei). (9.4)
Стационарные состояния обладают рядом важных свойств, отличающих их от других возможных состояний квантовых систем. Например, плотность распределения обобщенных координат не зависит от времени:
Ре(?, t) = IФе(?, t)\2 = IФе(?, t = 0)|2 = \Фе(?)\2- (9.5)
Также не зависит от времени распределение (и, конечно, среднее значение) любой физической величины, оператор которой не зависит явно от времени. Действительно, пусть {(рк}i° есть полный набор собственных функций оператора некоторой физической величины F. Тогда плотность распределения этой величины в стационарном состоянии фЕ(?, t) в соответствии с (2.24) есть
Pe(F)= ? \ЫФе(?,Щ2,
Fk=F
где суммирование производится по всем тем собственным функциям ifk, для которых Fk имеет заданное значение F. Подставляя сюда Фе(?, t) из (9.2):
Pe(F)= ? \ЫЫ0)\2, (9-6)
Fk=F
видим, что зависимость от времени отсутствует.
Подчеркнем, что задача нахождения волновых функций стационарных состояний системы относится к классу задач на собственные значения. Уравнение (9.3) имеет решения лишь при
Лекция 2
33
определенных значениях Е, образующих спектр гамильтониана Н, или энергетический спектр системы.
Совокупность всех собственных функций и обобщенных собственных функций гамильтониана образует полный набор, по которому может быть разложена произвольная функция из L2.
§ 10. О нахождении волновых функций нестационарных состояний
Пусть в момент времени t = 0 система находится в состоянии, которое описывается волновой функцией Ф(?). Если эта функция совпадает с одной из собственных функций Фе{?) гамильтониана системы, то это значит, что система находится в стационарном состоянии с энергией Е. При этом изменение волновой функции со временем определяется уже известным гармоническим законом (9.2).
Пусть теперь Ф(?) не есть собственная функция гамильтониана. Как в этом случае найти волновую функцию системы ф(?, t) при t > 0?
Функция ф(?, t) должна удовлетворять как уравнению Шредингера (6.1), так и начальному условию:
тдЩй=Нг/>(?,Ь), (10.1)
ф{?, 0) = Ф(0- (Ю.2)
Воспользуемся тем, что множество всех функций стационарных состояний системы вместе со всеми обобщенными собственными функциями гамильтониана системы (как множество всех собственных и обобщенных собственных функций эрмитова оператора) представляет собой полный набор. Поэтому любое решение уравнения Шредингера можно представить в виде разложения по этому набору:
