Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Ищем решения в интервале энергии — Vo < Е ^ 0. В пространственной области (I) стационарное уравнение Шредингера принимает вид
+ о. (14Л)
Введем обозначение
тогда
dx2 П2 '
^Е = -к2 < 0, (14.2)
Ьг
х = -у/2ц\Е\ > 0.
Общее решение уравнения (14.1) есть
ф{1)(х) =Ae"x + De-"x.
Для обеспечения квадратичной интегрируемости этой функции во всей области (I) (—оо < х < —а/2) следует положить D = 0, т. е.
фф) = Ае*х. (14.3)
Аналогично в области (III) получим
Ф( ш) (ж) = Се*х. (14.4)
В области (II) уравнение Шредингера принимает вид
= о, (14.5)
54
Раздел 1
ГД6 k2 = ^(E + V0)> 0, (14.6)
к = + Vo) > О.
Общее решение уравнения (14.5) есть
Ф(п)(х) = cos(kx) + В2 sin(кх). (14.7)
Поскольку каждая собственная функция должна быть либо четной, либо нечетной, только одна из констант В\, В2 может быть отлична от нуля в данном состоянии. Таким образом, все стационарные состояния нашего гамильтониана могут быть разбиты на два класса:
(A) состояния положительной четности, для которых В2 = О,
А = С;
(B) состояния отрицательной четности, для которых В\ = О,
А = -С.
Теперь мы должны наложить требования непрерывности функций и их производных в точках разрыва потенциальной энергии х = ±а/2. Эти условия позволяют определить константы интегрирования.
Произведем «сшивание» для состояний класса (А).
В точке х = —а/2 получаем
Ae-t™ = BlCosf,
хАе~ 2Ж“ = кВг sin^.
Отсюда имеем
A = Bie^acoS!f, (14.8)
В\ sin — нcos = 0. (14.9)
Легко проверить, что сшивание в точке х = а/2 с учетом того,
что А = С, приводит к этому же результату.
Мы видим, что система уравнений (14.8) и (14.9) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда к и к удовлетворяют уравнению
к • tg(fca/2) = к. (14.10)
Лекция 4
55
Для исследования уравнения (14.10) можно использовать графический метод, если заметить, что условие
к2 + м2 = К2, К = ^2/iVo > 0 (14.11)
представляет собой уравнение окружности с центром в точке (к = 0, к = 0) и с радиусом К. Поскольку нас интересует только одна четверть этой окружности (к > 0, к ^ 0), то уравнению (14.10) соответствует следующий график (рис. 4).
0 7т/а Ът/а 37т/а 47т/а к 0 71 /а 27т/а 37т/а 47т/а к
Рис. 4. Графический анализ урав- Рис. 5. Графический анализ уравнения нения к • tg(ka/2) = м —к • ctg(ka/2) = м
Мы видим, что уравнение (14.10) имеет хотя бы одно решение при любых значениях параметров потенциала Vo и а.
Теперь рассмотрим состояния класса (В). Сшивание в точках х = Та/2 приводит к системе уравнений:
Ae~ha = -В2 sin^, xAe~^*a = кВ2 cos^,
из которой получаем
56
Раздел 1
Нетривиальное решение этой системы существует тогда и только тогда, когда выполняется условие
—к • ctg = ус. (14.12)
Уравнению (14.12) соответствует график рис. 5. Видим, что уравнение (14.12) имеет решение только при к ^ тг/а.
Итак, в каждом интервале (п — 1)тг/а ^ к < птг/а, где п = 1,
2, ..., N, только одно из уравнений (14.10) и (14.12) может иметь корень, притом единственный. Следовательно, все корни можно пронумеровать в порядке возрастания их величины:
к\ < &2 • • • < &ЛГ.
Как было отмечено выше, корень к\ существует всегда. Максимальное количество корней N при данном значении Ка определяется из неравенств
(N — 1)тг/а ^ К < Nir/a, (14.13)
т. е.
Ка/7г < N ^ Ка/тг + 1.
Каждому корню кп соответствует, как это видно из (14.6), собственное значение гамильтониана
En = (H2/2p)k2n-VQ, п = 1, 2, 3, (14.14)
Другими словами, энергия связи частицы в яме принимает лишь определенные дискретные значения:
?п =-Еп = Vo - (П2/2р)к2, п = 1, 2, 3, ..., N. (14.15)
Таким образом, все собственные функции, принадлежащие соб-
ственным значениям из интервала
—Vo < Еп ^ 0,
могут быть разбиты на два класса:
(А) Собственные функции, принадлежащие собственным значениям Е\, Е%, Е$, ...:
{Апе™пХ при х < —а/2,
Bncosknx при — а/2 < ж < а/2,
Спе~^пХ при х > а/2,
п = 1, 3, 5, ...,
Ап = Сп = Вп exp^ — >ina^j cos - , х,п = — д/2fi\En|.
Лекция 4
51
Все эти функции имеют положительную четность.
(В) Собственные функции, принадлежащие собственным значениям Е±, Е$, ...:
Все эти функции имеют положительную четность.
Заметим, что по мере увеличения энергии состояния увеличивается количество узлов волновой функции (можно показать, что грп(х) имеет п — 1 узел).
Естественно, что во всех этих функциях, являющихся решениями однородного уравнения, остался неопределенным множитель Вп, который получает фиксированное значение, если воспользоваться условием нормировки
Нетрудно проверить, что при Е ^ —Vo наша задача на собственные значения нетривиальных решений не имеет.
Пусть теперь Е > 0. Тогда во всех трех пространственных областях получаем в качестве линейно независимых решений синусы и косинусы, которые не являются квадратично интегрируемыми функциями на всей оси х. Такие решения существуют при любом значении энергии Е > 0. Действительно, в каждой из 3-х пространственных областей в данном случае имеем по 2 константы интегрирования, т. е. всего 6 констант. Сшивание функций и их производных на двух границах накладывает только 4 условия, и оказывается, что требование непрерывности функции и ее производной может быть выполнено без ограничения на величину энергии Е. Следовательно, каждая точка Е > 0 принадлежит непрерывному спектру нашего гамильтониана; стационарных состояний при Е > 0 нет.
