Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
^2р(К) + j p(f)df = 1.
П **
(2.7)
Лекция 1
15
Важнейшими характеристиками распределения физической величины в состоянии ф(?, t) являются ее среднее значение (математическое ожидание)
F = Y, FnP(Fn) + [ fp(f ) df (2.8)
п J
и дисперсия (второй центральный момент)
Df = J2(pn - F?p{Fn) + /(/ - F)2p(f) df- (2.9)
n J
Как распределение p(Fn), так и его моменты с течением времени, вообще говоря, изменяются.
Постулат 3. Среднее значение физической величины F в состоянии ф(?, t) вычисляется по формуле
- (Ф\Р\Ф)
F = /Тих' (2Л0)
кФт
Если волновая функция нормирована на единицу, то получаем
F={il>\F\il>). (2.11)
Мы видим, что зависимость F от t определяется временной зави-
симостью волновой функции и оператора F.
Рассмотрим постулаты 1-3 подробнее.
1. Покажем, что из эрмитовости F следует, что среднее значение F вещественно. Действительно, из (2.11) имеем
(F)* = щЩф)* = Щр+Щ = щРщ,
т. е. _ _
(F)* = F. (2.12)
Отметим также, что построение (2.1) обеспечивает эрмитовость оператора (2.1).
2. Напомним, что число F называется собственным значением оператора F, если в области определения оператора Др существует функция (вектор) ф ф 0, принадлежащая 1/2, для которой выполняется равенство
Рф = Рф. (2.13)
16
Раздел 1
Функция *ф в таком случае называется собственной функцией (собственным вектором) оператора F, соответствующей собственному значению F. Как показывается в математике, совокупность всех собственных значений оператора образует дискретный спектр. Множество всех собственных функций эрмитова оператора F обозначим через {<^п}, а множество собственных значений — через {Fn}:
Fipn(0 = Fn<pn(?). (2.14)
Если уравнению (2.13) удовлетворяет ограниченная функция X/ (0 > не принадлежащая пространству 1/2,
Fx№) = fxM), (2.15)
то в этом случае, как показывается в математике, число / принадлежит непрерывному спектру оператора F. Соответствующая функция х/ называется обобщенной собственной функцией, или функцией непрерывного спектра. Множество всех обобщенных собственных функций оператора F обозначим через {х/}> а множество точек непрерывного спектра — через {/}. Совокупность точечного и непрерывного спектров называется полным спектром оператора. В функциональном анализе доказывается, что полный спектр {Fn}, {/} эрмитова оператора лежит на вещественной оси. Вещественность спектра оператора любой физической величины находится в соответствии с требованием вещественности результата любого ее измерения.
Может оказаться, что различным собственным функциям срп соответствует одно и то же собственное значение. Такое собственное значение называется вырожденным, а количество соответствующих линейно независимых собственных функций называется кратностью вырождения этого собственного значения. Аналогичное положение может быть и в случае непрерывного спектра.
Всегда можно считать (см. Дополнение 2), что собственные функции образуют ортонормированный набор
(ч>к\ч>1) = fal- (2.16)
В функциональном анализе показывается, что функции непрерывного спектра всегда можно считать удовлетворяющими условию
I Xf(OXf'(Od? = S(f-n
(2.17)
Лекция 1
17
которое аналогично условию (2.16) ортонормированности собственных функций. (Свойства дельта-функции Дирака 5(х) приведены в Дополнении 4.) Кроме того, любая обобщенная собственная функция %f ортогональна любой собственной функции срп:
(?n\Xf) = 0- (2.18)
Важной особенностью оператора физической величины по сравнению с произвольным эрмитовым оператором является то, что множество всех его собственных функций {(рп} и обобщенных собственных функций {х/} удовлетворяет равенству
Е <рп(0<рп(?) + f dfxdoxn') = щ - а (2.19)
{Fn} J
которое аналогично условию (Д1.6), выражающему полноту набора векторов в 1/2. Соотношение (2.19) является критерием полноты набора векторов {tpn}i {Xf} в ^2- Любую функцию Е 1/2 можно однозначно представить в виде
Ф(?) = Y1 а^п(?) + J dfafXf(?), (2.20)
{Fn}
{/}
где суммирование производится по всем точкам дискретного спектра, а интегрирование — по всем точкам непрерывного спектра, причем в силу условий ортонормированности (2.16) и (2.17)
а„ = {упЩ, af = (Xj#)- (2.21)
В формулах (2.19) и (2.20) подразумевается, что каждому значению Fn или / может соответствовать несколько линейно независимых функций (рп(?) и х/(?). Соответствующие дополнительные индексы суммирования и интегрирования опущены, чтобы не загромождать формулы. Отметим, что ап и а/ удовлетворяют условию нормировки
?К|2 + J \af\2df = 1-
(2.22)
3. Третий постулат позволяет найти распределение вероятностей различных результатов измерений. Подставляя разложение (2.20) в (2.11), получаем
18
Раздел 1
Из (2.23) следует, что если Fn — невырожденное собственное значение, то |ап|2 есть p(Fn) — вероятность того, что в результате измерения физической величины F в состоянии ф(?, t) будет получено значение Fn. Если же Fn — вырожденное собственное значение с кратностью вырождения N, то в сумме (2.23) имеется N слагаемых с одним и тем же значением Fn. Тогда вероятность того, что в результате измерения будет получено значение Fn, есть
