Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
*) = ?си^е„(С)е h?nt + [С(е)фЕ(?)е de, (10.3)
П **
НфеЛО = епФеЛО, (Ю-4)
Нфе{?) = еф?{$, (10.5)
а сп и С {s') — некоторые числа. В справедливости разложения (10.3) легко убедиться, подставив его в (10.1).
34
Раздел 1
Потребуем, чтобы функция (10.3) удовлетворяла начальному условию (10.2):
+ / C(e)M0de = Ф(0- (Ю.6)
П **
Отсюда находим коэффициенты разложения сп и С(е):
сп = <^„|Ф> = j (10.7)
С(е) = (ф?\Ф) = j ф*е{0Ф{?)<%. (10.8)
Таким образом, соотношения (10.3), (10.7) и (10.8) дают решение уравнения (10.1) с начальным условием (10.2).
Иногда оказывается удобным представить решение этой задачи в несколько ином виде. Для этого подставим (10.7) и (10.8) в (10.3) и поменяем местами интегрирование по ? и суммирование (интегрирование) по энергетическому спектру:
Ш, t)= [^(ТфеЛЖЛОе~^п1+
J ' п
+ j фе(0ФЖ)е~**ск) Ф(Г). (10.9)
Введем новую функцию:
<?(?, t) = ^2-фгЛ?Жп№)е h?nt + [ ^ds.
п J
(10.10)
Эта функция называется функцией Грина для уравнения (10.1). Она не зависит от начального состояния системы и определяется только ее гамильтонианом. С помощью функции Грина решение уравнения Шредингера (10.1) с начальным условием (10.2) представляется в соответствии с (10.9) в виде
Ф&*) = I Ф(П<- (10.11)
Легко проверить, что функция Грина (10.10) удовлетворяет
Лекция 2
35
соотношениям
(10.12)
(10.13)
о) = 5<? - О-
В § 8 мы отметили, что в любом состоянии распределение любой сохраняющейся величины не меняется со временем. Сейчас мы можем легко доказать это утверждение для распределения энергии. Действительно, согласно (10.3) вероятность того, что в произвольном состоянии t) энергия имеет значение еп, в соответствии с (2.24) есть:
т. е. не зависит от времени. Неопределенность энергии в нестационарном состоянии не означает, конечно, что энергия в этом состоянии не сохраняется. Она сохраняется в среднем; кроме того, как мы только что показали, сохраняется распределение энергии.
2.1. Показать, что нормировка волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, не изменяется со временем.
2.2. Показать, что операторы скорости и ускорения частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией V(r), могут быть представлены в виде
где ц — масса частицы, р — оператор ее импульса.
2.3. Показать, что гамильтониан свободной частицы в сферических координатах имеет вид
с„е
(10.14)
Упражнения к лекции 2
v = p//i, а = -gradF(r)//i,
где
sin#
ji — масса частицы.
36
Раздел 1
2.4. Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующие компоненты:
2.5. Частица движется в сферически симметричном поле. Из приведенных ниже физических величин выбрать интегралы движения:
2.6. Частица движется в поле с осевой симметрией. Из приведенных в упражнении 2.5 физических величин выбрать интегралы движения.
2.7. Частица находится в состоянии, описываемом в сферических координатах волновой функцией
где R(r) — некоторая квадратично интегрируемая функция. Найти распределение проекции момента количества движения на ось г.
2.8. Используя волновую функцию из упражнения 1.6, найти среднее значение кинетической энергии электрона в основном состоянии атома водорода (движением ядра пренебречь).
2.9. Доказать, что в любом состоянии распределение любой сохраняющейся величины не меняется со временем.
2.10. Построить оператор плотности распределения координаты частицы, движущейся в заданном поле.
^(r) = R(r) cos2 (р,
2.11. То же для оператора плотности тока.
Лекция 3
37
ЛЕКЦИЯ 3 § 11. Линейный гармонический осциллятор. Стационарные состояния
Рассмотрим одну из простейших механических систем — частицу с массой /1, движущуюся в одномерном поле с потенциальной энергией
V(x) = ±kx2. (11.1)
Из классической механики известно, что частица, находящаяся в таком поле, совершает гармоническое колебательное движение вдоль оси х относительно точки х = 0 с частотой
о, = (к/ц)1/2, (11.2)
т. е. координата частицы в момент времени t есть
х = acos(ut + ср), (11-3)
где а — амплитуда колебаний, ср — фаза колебаний при t = 0. При этом полная энергия частицы есть
Е=^со2а2, (11.4)
т. е. при фиксированных /1 и к она определяется амплитудой а и не зависит от начальной фазы ср.
Решение этой же задачи в квантовой механике состоит в нахождении всех функций, удовлетворяющих уравнению Шредингера (6.1) и соответствующим начальным условиям.
Начнем с нахождения тех решений уравнения Шредингера, которые описывают стационарные состояния. В общем случае для этого надо найти все решения стационарного уравнения Шредингера (9.1), принадлежащие области определения гамильтониана Н в пространстве 1/2. В нашем случае волновые функции ф(х) зависят только от переменной х, а гамильтониан Н согласно (3.10),
(11.1) и (11.2) имеет вид
Н = т + V = -^^ + \цю2х2. (11.5)
dxz *
38
Раздел 1
Отметим, что уравнение (9.1) инвариантно относительно изменения начала отсчета полной и потенциальной энергии. Поэтому начало отсчета энергии можно выбирать исходя из соображений математического удобства. Мы совместим его с минимумом потенциальной энергии У(0) = 0.
