Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
p{Fn) = Y,\an\2 = (2-24)
где суммирование производится по всем тем значениям п, для которых Fn одинаково. Аналогично из (2.23) следует, что плотность вероятности получить в результате измерения значение, лежащее в окрестности точки непрерывного спектра /, есть
p(f) = ?№ = ?|(х/|^)|2, (2.25)
где, как и в (2.24), суммирование учитывает вырождение. Таким образом, из постулата о среднем значении физической величины следует, что распределение вероятностей результатов измерений этой величины в некотором состоянии ф определяется коэффициентами (2.21) разложения ф по собственным функциям оператора этой физической величины.
Из определения среднего значения (2.10) следует, что среднее значение не изменяется при умножении вектора состояния ф на любое комплексное число с единичным модулем вида ег6 (5 — любое действительное число). Эта неоднозначность имеет принципиальный характер и не может быть устранена. Однако она несущественна, потому что, как следует из (1.1), (2.24) и (2.25), не отражается на распределениях физических величин в этом состоянии.
Таким образом, волновая функция состояния физической системы полностью характеризует результаты измерений всевозможных физических величин, т. е. дает полное описание состояния. Вероятностный характер этого описания отражает существо физических законов, которым подчиняются квантовомеханические системы.
§ 3. Операторы важнейших физических величин
В квантовой механике постулируется, что оператором пространственной координаты частицы г = {ж, у, zj является one-
Лекция 1
19
ратор умножения на г, т. е.
г = г. (3.1)
Оператором импульса частицы р = {pXl ру, pz} является оператор
р = -ihV, (3.2)
где V = {д/дх, д/ду, d/dz}, а константа h выражается через постоянную Планка h:
h = h/2ir = 1,054 х 10-27 эрг • с. (3.3)
Оператор АВ называется произведением операторов А и В. Его областью определения является совокупность всех тех ф G Dg, для которых Вф G D^. Оператор АВ переводит вектор ф в вектор
АВф = А(Вф).
Операторы АВ и В А, вообще говоря, различны, так как может не иметь место равенство
АВф = ВАф.
Более того, вообще говоря, операторы АВ и В А могут иметь различные области определения.
Назовем оператор
[А, В] = АВ - В А (3.4)
коммутатором, если области определения операторов АВ к В А
совпадают. Если [А, В] = 0, то говорят, что операторы А и В
коммутируют. Как мы увидим дальше, коммутаторы операторов физических величин играют важную роль в математическом аппарате квантовой механики.
Легко проверить, что коммутатор операторов г и р имеет следующее значение:
[Ги Pk\ = ihSik, I, к= (1, 2, 3). (3.5)
Покажем, например, что
[х, рх\ = ih. (3.6)
20
Раздел 1
Для произвольной дифференцируемой функции ф(г) Е L2 имеем [х, РхЩт) = -ih(x-^1p(x, у, z) - ^хф(х, у, z)j =
= у> z) - х= *^(г)>
т. е.
[ж, рж]^(г) = —гНф{г),
что эквивалентно соотношению (3.6).
В качестве оператора физической величины /(г, р) принимается согласно (2.1) оператор
/=|(/(г, р) +/+(?, р)). (3.7)
Например, оператор кинетической энергии частицы с массой р есть
f=^- = -^-V2 = -^-(-^- + -^- + -^-'\ ПЯ'»
2М 2М 2р\дх2 9у2 9z2)'
Оператор потенциальной энергии частицы есть
V = V(f, t). (3.9)
Тогда для оператора полной энергии частицы в потенциальном поле получаем
н = т + v = -f^v2 + r(f, t). (З.10)
Оператор полной энергии системы называется гамильтонианом.
Легко видеть, что моменту импульса частицы L = [г х р] = = {LXl Ly, Lz} следует сопоставить оператор
Lx = ypz-zpv = -ih(y§^ - ZjQ .
Ly = zpx-xpy = -ih(z-^-x^j, (3.11)
Lz = xpv~ypy = ~in(x^ - У§^) •
Лекция 1
21
Эти соотношения можно записать более компактно в следующем виде:
3 3
Li — 'У ^ ^ikl^kPl = ^ ^ ^ &ikl%k~^ ? (3-12)
к,1=1 к,1=1 Xl
где {ж, у, z} = {х\, Х2•) хз}, eiki — антисимметричный единичный тензор третьего ранга с компонентой ei23 = 1.
Все введенные операторы эрмитовы в пространстве Z/2- Проверим, например, эрмитовость оператора импульса:
(Ф1\Рх\Ф2) = J Ф1(г)(-Иг-^ф2(г) d3r =
= ~ih{l ^Х’ У’ Z^2^X' У’ Z^t=-oodydz~
- J -ф2(х, у, у, z)dxdydz
= (У ^(г)(-^^:)^1(г)сг3г^ =
так как lim ф(х, у, г) = 0, если ф G 1/2- Мы получили
сс—>ztoo
откуда в соответствии с определением (2.6) следует, что pic — эрмитов оператор.
§ 4. Состояния с определенными значениями физических величин
В § 2 было показано, как находится распределение физической величины F в произвольном состоянии ф. А существуют ли такие состояния, для которых распределение стягивается в одну точку, и результат измерения величины может быть предсказан с достоверностью? Очевидно, что это те и только те состояния ф, для которых дисперсия величины F равна нулю.
Дисперсия есть среднее значение величины (F — F)2, которой в соответствии с общим правилом (2.1) следует сопоставить оператор
Df = (F-F)2. (4.1)
22
Раздел 1
Среднее значение этой величины в искомом состоянии есть
Df = (ip\(F -F)2\ip) = О,
т. е.
||(F-F)V>||2 = 0.
Отсюда получаем
(F-F)i> = О,
т. е. искомыми являются состояния, которые описываются собственными векторами оператора F. Естественно, что в таких состояниях среднее значение равняется одному из собственных значений:
