Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
АВ = С + б,
где С — эрмитов оператор, a D удовлетворяет соотношению D+ = = — D. Найти С и D.
26
Раздел 1
1.6. Волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид
^(г) = Аехр(—г/а),
где а = Н2/ре2, (i — масса электрона, е — его заряд, А — нормировочная константа. Определить А и найти среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром
V = —е2/г
в этом состоянии.
1.7. Доказать перестановочные соотношения:
*0 \Lx-f Ly] = ihLz,
б) [L^, Lk\ = ih^eikiLu
i
в) [?г, L2] = О,
r) [Li, гк] = ih^eikin, i
д) [Li, pk] = iHY^eikiPi,
i
е) [L2, г*] = 2zft[(rp)fi - r2^],
ж) [L2, = 2гП[р2^ - (рг)й].
1.8. Упростить следующие коммутаторы:
а) \рх, f(x, у, г)], б) \рх, хп], в) [х, Т], г) \рх, [f(x, у, z), рх}\.
1.9. Показать, что операторы квадрата момента количества движения L2 и его проекции на оси х, у, z в сферических координатах имеют вид
Лекция 2
27
1.10. Показать, что собственные значения и собственные функции оператора Lz в сферических координатах имеют вид
Lz = mh, фт^) = Aexp(im(p),
где т = 0, ±1, ±2, ... Найти нормировочную константу.
1.11. Найти собственные значения и собственные функции оператора L2Z.
ЛЕКЦИЯ 2 § 6. Уравнение Шредингера
Мы выяснили, как, зная волновую функцию состояния ф(?, t), определить распределения различных физических величин в этом состоянии. Однако до сих пор остался открытым вопрос о том, в каких же состояниях ф Е L2 может находиться данная физическая система. В квантовой механике постулируется, что она может находиться в тех и только тех состояниях, волновые функции которых удовлетворяют условию
= Нф(Ц, t), (6.1)
где Н — гамильтониан данной системы. Это условие представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение относительно волновой функции ф(?, t). Оно называется уравнением Шредингера, или волновым уравнением. Вместе с начальным условием уравнение Шредингера однозначно определяет состояние системы в любой момент времени.
Пусть ф\а, t) и ^2(?, t) — два произвольных уравнения Шредингера. Ввиду его линейности и однородности любая линейная комбинация этих функций
t) = смЫС, t) + (Зф2(?, t)
является решением. Следовательно, произвольная линейная комбинация волновых функций любых состояний системы является волновой функцией некоторого возможного состояния этой системы. Это утверждение называется принципом суперпозиции состояний.
28
Раздел 1
Если гамильтониан системы Н не зависит от времени, формально можно записать решение уравнения Шредингера в виде
Ф{?, t) = U(t, t0)^(?, to), (6.2)
где
OO ^
U(t, to) = exp (-iff • (t - to)) = ? (-|уЯ • t) (6.3)
k=0
есть оператор эволюции системы, а ф(?, to) — волновая функция при t = to, играющая роль начального условия. Однако обычно вычисление правой части выражения (6.2) является более сложной задачей, чем решение дифференциального уравнения (6.1).
§ 7. Уравнение Шредингера для одной частицы. Уравнение непрерывности
Гамильтониан системы, состоящей из одной частицы с массой р, которая движется в некотором постоянном потенциальном поле V(г), имеет вид
Я=-|^V2 + y(r). (7.1)
В этом случае уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по времени и второго порядка по пространственным координатам:
шЩг- = (гт^2 + *)• (7-V
Поскольку это уравнение содержит вторые производные по координатам и должно выполняться во всех точках пространства, волновая функция ф(г, t) и ее первые производные по координатам должны быть непрерывны во всем пространстве, включая все поверхности разрыва потенциала V(r), если таковые имеются.
Волновая функция ф(г, t) однозначно определяется уравнением Шредингера, если она задана во всем пространстве при t = О и является квадратично интегрируемой:
J Щт, t)\2d3r=l.
(7.2а)
Лекция 2
29
Покажем, что все решения уравнения (7.2) удовлетворяют некоторому другому уравнению, которое аналогично уравнению непрерывности в электродинамике или механике сплошных сред.
Проводя комплексное сопряжение уравнения (7.2), получаем
_iHdr(Г, t) = + F(r)y (rj th (73)
Умножим уравнение (7.2) на (г, t), а (7.3) — на ф(г, t) и вычтем из первого результата второй:
Введем сюда плотность распределения координат
р(г, t) = \ф(г, t)I2 (7.4)
и некоторый вектор
= (7.5)
Получаем искомое уравнение
^Li)+divj(,,()=o. <7.6)
Поскольку др(г, t)/dt есть скорость изменения вероятности обнаружить частицу в окрестности точки г, то из уравнения (7.6) следует, что вектор j (г, t) имеет смысл плотности тока вероятности.
Уравнение (7.6) по аналогии с соответствующим классическим уравнением называется уравнением непрерывности.
§ 8. Изменение средних значений физических величин со временем. Интегралы движения
Пусть F(t) есть среднее значение некоторой физической величины F в состоянии t):
т = J nz, *)<%¦
30
Раздел 1
Эта величина зависит от времени t по двум причинам: 1) волновая функция состояния ф(?, t) изменяется со временем в соответствии с уравнением Шредингера; 2) оператор F может явно зависеть от времени.
Найдем скорость изменения среднего значения F(t):
