Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
F = Fn.
Существуют ли состояния, в которых несколько физических величин имеют определенные значения? Для ответа на этот вопрос важное значение имеет следующая теорема (Дополнение 5): необходимым и достаточным условием существования в L2 общего полного набора собственных функций двух эрмитовых операторов А и В с чисто дискретными спектрами является коммутативность этих операторов. Следовательно, если операторы некоторых физических величин А и В с чисто дискретными спектрами коммутируют друг с другом, то в 1/2 существует бесконечное множество линейно-независимых состояний срп, в каждом из которых обе эти величины имеют определенные значения:
= Ап^Рт Всрп = Впсрп. (4-2)
Что можно сказать о состояниях, в которых более двух физических величин имеют определенные значения? Сколько таких величин? Очевидно, что, вообще говоря, их столько, сколько существует взаимно коммутирующих операторов физических величин. Однако не все эти величины будут независимыми: может оказаться, что некоторые из них будут функциями других. Будем называть набор независимых физических величин полным для данной системы, если операторы всех этих величин коммутируют между собой, и этот набор не может быть расширен. Соответствующий набор эрмитовых операторов также называется полным.
Лекция 1
23
§ 5. Соотношение неопределенностей
Обратимся теперь к случаю, когда два оператора физических величин не коммутируют между собой:
Из теоремы, изложенной в предыдущем параграфе, следует, что состояний, в которых каждая из этих физических величин имеет какое-то определенное значение, нет; лишь как исключение такие состояния могут встретиться в результате «пересечения» бесконечных полных наборов собственных функций каждого из операторов А и В. Другими словами, в любом состоянии по крайней мере одна из величин А и В имеет ненулевую дисперсию. В квантовой механике большое значение имеют соотношения, строго ограничивающие снизу произведения дисперсий физических величин, которым соответствуют некоммутирующие операторы. Примером такого соотношения является хорошо известное соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса частицы:
Сейчас мы выведем соотношение неопределенностей в общем случае для двух произвольных некоммутирующих операторов, а затем получим из него соотношение (5.2).
Пусть А и В — две физические величины. Коммутатор их операторов всегда можно представить в виде (см. упражнение 1.4)
где А, В — средние значения А и В в состоянии ф. Эти операторы удовлетворяют перестановочному соотношению:
Дисперсии величин А и В в состоянии ф представим в виде
[А, В] ф 0.
(5.1)
Ах ¦ Ар ^ h/2.
(5.2)
[А, В] = iC,
(5.3)
где С — некоторый эрмитов оператор (С+ = С). Введем операторы
А А = А-А, А В = В-В, (5.4)
[АЛ, АВ] = гС.
(5.5)
Da = {-ф\(АА)2\ф) = \\AA- ф\\2,
(5.6)
24
Раздел 1
Покажем, что нормы векторов А А • и А В • удовлетворяют
следующему неравенству:
\\AA- ф\\ х \\АВ-ф\\ > ||(^|С|^)|. (5.7)
Действительно, для любых двух векторов выполняются соотношения
11ЛМЫ1>К/|5>1,
K/|5)|>|Im|(/|5)|. Р ^
С другой стороны, имеем
1т(АА-ф\АВ-ф) = ±-.({АА-ф\АВ ¦ ф) - (ДА-ф\АВ-ф)*) = = • АВ\ф) - (ф\АВ - АА\ф}*) = \(ф\С\ф) = \С,
где С — вещественное число, так как оператор С эрмитов.
Таким образом,
Da-Db> (С/2)2, (5.9)
т. е. произведение дисперсий любых двух физических величин А и В в произвольном состоянии в любой момент времени ограничено снизу числом (С)2/4. Неравенство (5.9) называется соотношением неопределенностей для величин А и В.
Особенно интересны случаи, когда коммутатор есть некоторая (чисто мнимая) константа, отличная от нуля:
[A,B]=iK, Кф 0; (5.10)
тогда
Da-Db>\k2> о, т.е. Da> О, Db> 0. (5.11)
Следовательно, в этом случае в L2 не только не существует состояний, в которых величины А и В имели бы одновременно определенные значения, но даже не существует состояний, в которых хотя бы одна из них имела определенное значение.
Примером таких величин являются координата х и импульс рх частицы. Согласно (3.6), коммутатор операторов х и рх есть
[x,px\=ih. (5.12)
Лекция 1
25
Следовательно,
Dx ¦ DPx > > 0, (5.13)
т. е. в 1/2 не существует состояний, в которых координата частицы и соответствующая компонента ее импульса могут иметь одновременно исчезающие дисперсии. При этом чем точнее локализована некоторая координата частицы, тем больше минимальная неопределенность соответствующей компоненты ее импульса, и наоборот.
Вводя обозначения
Аж = (Дс)1/2, Ар = (?>PJ1/2, можем записать (5.13) в форме (5.2).
Упражнения к лекции 1
1.1. Пусть А, В, С, ..., F — некоторые линейные операторы.
Доказать соотношение (Д2.8)
(.ABC...F)+ =F+...C+5+l+.
1.2. Найти операторы, эрмитово сопряженные следующим операторам:
a) d/dx, б) xd/dx, в) p^d/dx, г) хрх.
1.3. Доказать унитарность оператора егА, если А — эрмитов оператор.
1.4. Показать, что коммутатор любых двух эрмитовых операторов А и В всегда может быть представлен в виде
[А, В] = iC,
где С — некоторый эрмитов оператор.
1.5. Показать, что произведение двух эрмитовых операторов А и В всегда можно представить в виде
