Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2. Плотность рп(0 координатного распределения линейного гармонического осциллятора при п — 0, 1, 2, 10
как этого требует общая теорема, доказанная в Дополнении 2. Правильность этого соотношения легко проверить непосредственно, используя ортонормированность полиномов Эрмита (6). Так-
Лекция 3
43
же можно доказать, что этот набор является полным в пространстве 1/2, т. е. мы нашли все собственные векторы оператора Н, а его непрерывный спектр пуст. Условие полноты набора {^п}о° в соответствии с (1) можно записать в виде
Теперь подведем итоги и сравним полученные результаты с теми, которые были приведены в начале параграфа для классического линейного гармонического осциллятора.
1. В стационарном состоянии полная энергия квантового осциллятора в отличие от классического не может быть произвольной, а «квантуется»; она должна удовлетворять соотношению (11.19). Энергию hw можно рассматривать как величину кванта колебаний и считать, что в состоянии с энергией Еп имеется п квантов.
2. Минимальное значение Ео = hcu/2 лежит выше минимума потенциальной энергии V = 0 («нулевые колебания» осциллято-ра).
3. Квантовая частица может заходить за классические «точки поворота» х = ±жп, определяемые условием V(xn) = Еп, т. е. находиться в тех областях пространства, где движение классической частицы с такой же полной энергией запрещено. Однако вероятность пребывания частицы в этих областях очень быстро убывает по мере удаления от области, разрешенной для классического движения. Классическое движение строго финитно. Что же касается квантового осциллятора, то его движение можно считать финитным только условно.
4. Каждому энергетическому уровню Еп соответствует только одно состояние (11.18), т. е. спектр гармонического осциллятора невырожден.
5. Полином Эрмита Нп(?) при четном значении п содержит только четные степени аргумента, а при нечетном п — только нечетные степени. Поэтому все состояния с четными (нечетными) п описываются четными (нечетными) волновыми функциями.
В следующем параграфе мы специально рассмотрим вопрос о четности волновой функции. А сейчас остановимся на заключении, которое сформулировано в пункте 4. Мы покажем, что этот результат не случаен и в то же время не связан с какими-либо специфическими особенностями осциллятора. Оказывается, что при одномерном движении частицы собственные значения гамильтониана невырождены всегда, независимо от вида потенциала V(х).
оо
(11.25)
44
Раздел 1
Докажем это утверждение от противного.
Допустим, что некоторое собственное значение Е является вырожденным и ему соответствуют две линейно независимые функции ф\{х) И ф2(х)\
Ф,^) + (^)(Е-У(х))ф1(х) = о,
W{x)+(^)(E-V{x))Mx)=0.
Умножим первое уравнение на Ф2, второе — на ф\ и из первого результата вычтем второй; тогда получим
ф2ф'[ - Ф1Ф2 = о,
т. е.
d ( , <1ф! #2 \ п
— [Ф2-Г--Ф1-Г-) =0.
Следовательно,
dx V2 dx V1 dx )
Ф2Ф1 ~ Ф1Ф2 = с,
где С — некоторая константа. Для ее определения рассмотрим предел левой части равенства при \х\ —> оо. Поскольку по условию Е есть точка дискретного спектра, то lim ф\^ = 0, т. е. С = 0. Следовательно, И-юо
ф2 dijji = ф± dip2.
откуда
Ф\ = аф 2,
где а — некоторая константа.
Таким образом, ф\ и ф% линейно зависимы, что противоречит исходному предположению.
§ 12. Четность состояния
В § 11 мы видели, что волновые функции всех стационарных состояний линейного гармонического осциллятора имеют определенную четность. Покажем, что это свойство присуще всем стационарным состояниям дискретного спектра любого одномерного четного гамильтониана
Н(-х) = Н(х).
Лекция 3
45
Введем новый оператор Р — оператор пространственной инверсии,, который определен во всем пространстве L2 и действует по правилу
Рф(г) = (12.1)
т. е. он реализует преобразование инверсии (или пространственного отражения):
х^-х, у —> —у, z > -Z.
В результате этого преобразования правая переходит в левую и наоборот.
Если гамильтониан системы инвариантен относительно этого преобразования, то
РН(г)ф(г) = Н(—г)ф(—г) = Н(г)ф(—г) = Н(г)Рф(г),
т. е.
PH = HP.
Следовательно, в этом случае гамильтониан коммутирует с оператором инверсии.
Таким образом, если гамильтониан является четной функцией пространственных координат
Я (-г) = Я(г), (12.2)
то в системе, описываемой этим гамильтонианом, имеется специфический для квантовой механики интеграл движения — четность. В дальнейшем мы увидим, что инвариантность гамильтониана системы относительно какого-либо преобразования обобщенных координат всегда связана с существованием для этой системы некоторого интеграла движения.
Легко проверить, что оператор Р эрмитов. Поэтому его собственные значения должны быть вещественными. Найдем их:
Рф(т) = Рф( г),
т. е.
ф(—г) = Рф{ г).
Подействуем на обе части этого равенства оператором Р:
Рф(—г) = РРф( г), ф(г) = Р2ф( г),
т. е. Р2 = 1, Р = ±1.
46
Раздел 1
Таким образом, оператор инверсии имеет два собственных значения (±1), а все его собственные функции распадаются на два класса:
1) четные функции ф(—г) = ф(г), Р = 1,
2) нечетные функции ф(—г) = —ф(г), Р = —1.
