Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Воспользуемся критерием полноты (2.19) для определения нормировочной константы С функции грр (г):
J i’p(r)i’p(r')d3p = 5(r-p'). (15.5)
Подставляя сюда (15.4), получаем
\С\2 J ехр^р(г - г')) d3р = <5(г - г'),
откуда, воспользовавшись равенством (Д4.6)
6(г - г') = (2тгй)-3 J ехр(|р(г - г')) d3р,
находим
С = (2тг П)~3/2.
Таким образом,
V’p(r) = (27rfi)_3/2exp^|prj (15.6)
Лекция 4
61
есть обобщенная собственная функция оператора импульса частицы, нормировка которой определяется соотношением (15.5). Легко видеть, что эта функция удовлетворяет также обобщенному условию ортонормированности (2.17)
J V’pMV’p' (r) rf3r = 5(р - р'). (15.7)
Найденные обобщенные собственные функции {^р(г)} позволяют найти распределение импульса частицы в любом состоянии Ф(г, t). Согласно (2.25) плотность импульсного распределения в точке р в момент времени t есть
р(р, t) = |а(р, t)|2, (15.8)
где
а(р, t) = (^Р|Ф) = (27гh)~3/2 J е ^РГФ(г, t) d3г. (15.9)
Функция а(р, t) полностью определяет импульсное распределение в данном состоянии. Ее можно назвать амплитудой импульсного распределения аналогично тому, что волновую функцию Ф(г, t) называют амплитудой координатного распределения в данном состоянии.
Поскольку координатное распределение нормировано на единицу (||Ф|| = 1), то, как легко проверить,
J p{p,t)d3p = J\a(p,t)\2d3p=l, (15.10)
т. е. импульсное распределение тоже нормировано на единицу.
В частном случае, когда Ф(г, t) есть волновая функция стационарного состояния, согласно (9.4) и (15.9) имеем
Р(Р, t) = р(р, t = 0), (15.11)
т. е. плотность импульсного распределения не зависит от времени, что находится в полном соответствии с общим утверждением (9.6) о сохранении в стационарном состоянии распределения любой физической величины, оператор которой не зависит явно от времени.
Отметим, что при |р| —> ос плотность импульсного распределения в любом состоянии стремится к нулю, потому что в интеграле (15.9) имеется осциллирующая знакопеременная функция
62
Раздел 1
ехр^—^рг^, период осцилляций которой стремится к нулю при
увеличении |р|.
В качестве примера рассмотрим импульсное распределение в стационарном состоянии движения частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме, причем для простоты будем считать, что глубина ямы бесконечна:
{оо при х ^ О,
О при 0 < х < а, (15.12)
оо при х ^ а.
Для нахождения стационарных состояний надо решить краевую задачу:
fc2 СРф(х) ' . .
~2Ц^^=ЕФ{Х)’ 0<х<а’ Е>(15.13)
ф(0) = ф(а) = 0.
Здесь было использовано граничное условие (14.16). Решение этой задачи (см. упражнение 4.7) имеет вид
фп{х) = (!) 1 sin кпх\ кп =
_ НЧ1 _ <15Л4>
Еп — 2ц ’ п — 1, 2, 3, ...
Для амплитуды импульсного распределения в стационарном состоянии фп согласно (15.9) получаем
а
ап(р) = (2ттН)~1/2 j е ^рхфп(х)ёх = о
а
= (7r/ia)_1/2 J е ^рх sindx. (15.15) о
В частности, для основного состояния ф\ имеем
л/тта/Н / ар . . ар\
, , м2 4тгa COS2(ар/2П)
MP)I { >
Лекция 4
63
Сравним форму импульсного распределения (15.17) с формой координатного распределения в этом же состоянии:
№i(x)\ =as[n ах’ О < х < а.
(15.18)
Оба распределения изображены на рис. 7. Мы видим, что ширина координатного распределения характеризуется величиной а, а ширина импульсного — величиной h/a. Поэтому при уменьшении ширины ямы а координатное распределение становится уже, а импульсное — шире. Этот результат, конечно, согласуется с соотношением неопределенностей (5.2) для координаты и импульса.
Рис. 7. Импульсное и координатное распределения для основного состояния частицы в бесконечно глубокой прямоугольной яме шириной а (сплошные кривые) и а/2 (пунктирные кривые)
§ 16. Свободное движение частицы
Свободная частица, движущаяся в отсутствие каких-либо внешних полей, является простейшей физической системой. Однако в математическом отношении задача о движении квантовой свободной частицы несколько сложнее, чем рассмотренные выше задачи о движении частицы в поле гармонического осциллятора и прямоугольной потенциальной ямы.
В классической механике частица, на которую не действуют внешние силы, движется с постоянной скоростью, а ее траектория представляет собой прямую линию. В квантовой механике движение свободной частицы описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом, который сводится к оператору кинетической энергии частицы
"”=f=S=-(I>2- <i6i>
Начнем со стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы
-(|д)у2Ыг)=?<Ыг)- (16.2)
64
Раздел 1
Прежде чем решать это уравнение, рассмотрим вопрос об интегралах движения в рассматриваемой системе. Легко проверить, что оператор импульса частицы р, оператор квадрата ее момента количества движения L2 и все три оператора проекций момента {Li}\ коммутируют с гамильтонианом (16.1):
[pi, Н0] = 0; [Li, Н0] = 0; [L2, Я„] = 0.
Следовательно, каждая из этих физических величин сохраняется при свободном движении частицы. Согласно теореме о коммутирующих операторах (§4) коммутативность некоторого оператора с гамильтонианом Н означает, что существует общий полный набор собственных функций и обобщенных собственных функций гамильтониана Н и этого оператора. Заметим, однако, что не все эти операторы р, L, L2 коммутируют друг с другом:
