Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что множество квадратично интегрируемых собственных функций нашего гамильтониана конечно (в частном
' Апе™пХ при х > —а/2, фп[х) = Вп sin knx при — а/2 < х < а/2, Спе_><тг:г при ж > а/2, п = 2, 4, 6, ...,
оо
— оо
58
Раздел 1
случае оно может сводиться всего к одной функции), а поэтому не может быть полным набором в L2 (для получения набора, полного в смысле (2.20), это множество должно быть дополнено всеми линейно независимыми функциями непрерывного спектра).
Сравним результаты квантово-механического рассмотрения стационарного движения частицы в прямоугольной потенциальной яме с соответствующими результатами классического рассмотрения.
Ясно, что классическая частица с полной энергией — Vo ^ Е < 0 может находиться только в области (II) (—а/2 ^ х ^ а/2), поскольку в областях (I) и (III) ее полная энергия была бы меньше потенциальной, что в классической механике невозможно. В области (II) классическая частица может двигаться с любым значением энергии из интервала (—Vo, 0).
Квантовое стационарное движение частицы в тех же условиях имеет совершенно другой характер. Энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений (14.14), причем минимальное значение всегда больше минимума потенциальной энергии (Ei > — Vo). Волновая функция любого стационарного состояния отлична от нуля в областях (I) и (III), т. е. частица с конечной вероятностью может находиться в области, запрещенной для классического движения. Плотность распределения координаты частицы для некоторых стационарных состояний представлена на рис. 6.
Поскольку вероятность нахождения частицы в области, запрещенной для классического движения, экспоненциально уменьшается при \х\ —> оо, можно условно считать, что частица, находящаяся в стационарном состоянии, совершает финитное движение.
Нетрудно проверить, что вероятность нахождения частицы в области, запрещенной для классического движения, стремится к нулю при увеличении энергии связи частицы. Поэтому на границе Е бесконечно глубокой потенциальной ямы волновая функция обращается в нуль:
ФЬ=0. (14.16)
Рис. 6. Плотность рп(х) координатного распределения для стационарных состояний частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме при п— 1, 2, 3
Лекция 4
59
§ 15. Импульсное распределение
Пусть Ф(г, t) — волновая функция некоторого состояния частицы. Согласно (1.2) она однозначно определяет плотность распределения координаты частицы в любой момент времени:
p(r, t) = |Ф(г, t)\2. (15.1)
А что можно сказать о других физических величинах в этом состоянии, например, об импульсе частицы? Общее рассмотрение этого вопроса было проведено в лекции 1. Здесь мы воспользуемся полученными там результатами.
В классической механике в любой момент времени t можно указать как координату частицы r(t), так и ее импульс р(t). В квантовой же механике, как мы видели в §§4,5, такое описание состояния принципиально невозможно. Действительно, из соотношения неопределенностей (5.2) для координаты и импульса непосредственно видно, что не существует состояний, в которых координата или импульс имели бы определенные значения. Более того, не существует и таких состояний, в которых неопределенности координаты и импульса одновременно были бы сколь угодно малы. Поэтому в квантовой механике даже невозможно ввести понятие совместного распределения г и р, поскольку операторы этих величин не коммутируют. Следовательно, в квантовой механике не имеет смысла вопрос о вероятности того, что импульс частицы примет значение из бесконечно малой окрестности некоторой точки р при условии, что координата имеет значение, лежащее в бесконечно малой окрестности точки г. Можно говорить только о вероятностях тех или иных значений координаты (импульса) безотносительно к тому, каковы значения импульса (координаты).
Координатное распределение дается формулой (15.1). Найдем импульсное распределение в том же состоянии Ф(г, t). Для этого мы можем воспользоваться основными соотношениями (2.24) и (2.25), но сперва надо найти собственные функции (обобщенные собственные функции) оператора импульса р.
Поскольку состояний с определенным значением импульса не существует, сразу можно утверждать, что дискретный спектр оператора импульса пуст. Для нахождения непрерывного спектра и обобщенных собственных функций надо в соответствии с (2.15) найти все решения уравнения
Р^р(г) = Р^р(г),
(15.2)
60
Раздел 1
где
р = -Ш. (15.3)
Нетрудно проверить, что это уравнение имеет при любом
вещественном значении р одно и только одно решение
V’pW = Сехр(|рг), (15.4)
где С — произвольная константа. Это значит, что спектр оператора импульса частицы занимает всю вещественную ось.
Функция ^р(г) не является квадратично интегрируемой и согласно § 1 не может описывать какое-либо реальное состояние частицы. Действительно,
IV’pWI2 = \с\\
т. е. плотность вероятности обнаружить частицу в окрестности любой точки бесконечного пространства имела бы в этом состоянии одно и то же значение. Нелепость этого свойства с физической точки зрения указывает на невозможность реализации такого состояния. Однако совокупность функций {^р(г)} для всевозможных значений р является полным набором и может быть использована для разложения произвольной квадратично интегрируемой функции.
