Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
а) прямоугольная яма бесконечной глубины,
50
Раздел 1
б) прямоугольная яма с одной бесконечно высокой стенкой,
{оо при х < 0,
—Vo < 0 при 0 < х < а,
0 при х > а;
в) «усеченный» гармонический осциллятор с бесконечно высокой стенкой,
ЛТ( ч ГО при х < 0,
V (х) = < о ^ п
4 ' при х > 0;
г) несимметричная прямоугольная яма,
Г Vi > 0 при ж < 0,
]/(ж) = < 0 при 0 < х < а,
[V2 > 0 при х > а;
3.2. В случае (в) упражнения 3.1 найти все стационарные
состояния, воспользовавшись известным решением задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
3.3. Частица находится в основном состоянии линейного гармонического осциллятора. Найти вероятность пребывания этой частицы в области, запрещенной для классического движения.
3.4. Заряженная частица с зарядом е и массой р совершает гармонические колебания вдоль оси х с частотой со. Найти стационарные состояния этой системы при наложении внешнего электростатического поля, имеющего напряженность 8 и направленного вдоль оси х. Сравнить результат с решением соответствующей классической задачи.
3.5. Используя рекуррентные соотношения (Дополнение 6) для полиномов Эрмита, вычислить интегралы
J %l>n(x)x%l>m{x)dx, j ipn(x)pxipm(x)dx,
— оо —ОО
где {фк}о° — волновые функции стационарных состояний линейного гармонического осциллятора.
3.6. То же для интегралов
оо оо
/ ip*n(x)x2ipm(x)dx, / ip*n(x)p2ipm(x)dx.
Лекция 3
51
3.7. Вычислить средние значения потенциальной и кинетической энергий в п-м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.
3.8. Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, совершающей линейные гармонические колебания (стационарные состояния).
3.9. Найти энергетический спектр системы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых есть V — ах\х2 (а — некоторая константа, х\ и Х2 — координаты осцилляторов).
Указание: в уравнении Шредингера разделить переменные, описывающие относительное движение частиц и движение их центра масс.
3.10. Линейный гармонический осциллятор находится при t = 0 в состоянии ф(х, t = 0) = 2_1/2(^о + ф\). Вычислить x(t).
3.11. Найти среднее значение и дисперсию энергии линейного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
V(x) = ^fiuj2x2 в состоянии (13.2).
3.12. Найти среднее значение и дисперсию энергии свободной частицы в состоянии (13.2).
3.13. Рассмотреть движение линейного гармонического осциллятора, находящегося при t = 0 в состоянии
где хо, b, Р — некоторые константы; принять Ъ = ^Н/ци. Сравнить полученные результаты с аналогичными результатами классической механики.
3.14. Доказать соотношение
di>n(x)/dx = \/ 1ли>/2Н(у/пфп-1(х) - Vn + 1фп+1(х)), хфп(х) = \/h/2lJ,U){Vn + 1фп+1(х) + у/пфп-1{х)),
где {^/е}о° — волновые функции стационарных состояний линейного гармонического осциллятора.
52
Раздел 1
ЛЕКЦИЯ 4
§ 14. Прямоугольная потенциальная яма (стационарные состояния)
Рассмотрим одномерное движение частицы с массой ji в поле с потенциальной энергией (рис. 3):
О
V[x) = { - Vo < О О
при х <— а/2, (I)
при —а/2 а/2, (II)
при х > а/2. (III)
Здесь за начало отсчета энергии принято значение потенциальной энергии на бесконечности. Такое поле принято называть прямоугольной потенциальной ямой. Одномерная прямоугольная потенциальная яма часто используется в качестве первого приближения
для описания движения частицы в реальных полях с большим градиентом в отдельных малых областях пространства. Примером такой ситуации может служить движение электрона в металлической пластинке, поскольку внутри металла движение в первом приближении может считаться свободным, а на поверхности металла за счет конечной работы выхода электрона имеется скачок потенциала.
Хорошо видно, что общий характер движения классической частицы в прямоугольной яме существенно отличается от характера движения классического гармонического осциллятора. Движение классического осциллятора всегда финитно, поскольку при любой полной энергии Е конечны размеры той области, где Е больше потенциальной энергии. В то же время характер движения классической частицы в прямоугольной потенциальной яме (рис. 3) существенно зависит от величины полной энергии: при Е < 0 движение финитно, а при Е ^ 0 ин-финитно. Говорят, что при Е < 0 частица находится в связанном состоянии с энергией связи г = — Е. Энергия связи представляет
Рис. 3. Одномерная прямоугольная потенциальная яма
Лекция 4
53
собой ту минимальную энергию, которую надо передать частице для того, чтобы она перешла в состояние инфинитного движения.
Переходя к квантовой механике, сначала рассмотрим стационарное движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме, т. е. свойства стационарных состояний.
Итак, наша задача состоит в нахождении решений одномерного стационарного уравнения Шредингера, которые удовлетворяют требованиям квадратичной интегрируемости, непрерывности и непрерывности производной на всей вещественной оси.
Поскольку гамильтониан нашей задачи является четным, можно утверждать, что все стационарные состояния дискретного спектра обладают определенной четностью. Используем эту информацию для упрощения решения задачи.
