Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
стему, а имеем дело лишь с плотностью их распределения р(?, t). Зная р(?, t), мы знаем вероятность того, что, измеряя в момент времени t переменную ? в нашем состоянии, получим значение в интервале (?, ? + d?):
du)(?,t)=p(?,t)d?. (1.1)
Состояния физических систем делятся на смешанные и чистые, причем последние можно рассматривать как частный случай смешанных состояний. Все свойства чистого состояния можно описать, задав некоторую комплексную функцию ^(?, t) — волновую функцию, зависящую от п обобщенных координат (динамических переменных) {?г}™ и времени t, которое не является динамической переменной и рассматривается как параметр. Волновая
12
Раздел 1
функция (ее называют также амплитудой вероятности) определяет плотность распределения динамических переменных ?:
р{?, t) = t) I2- (1-2)
Описание смешанных состояний сложнее, но мы пока не будем касаться этого вопроса, ограничившись в первых шести лекциях рассмотрением только чистых состояний (не говоря всякий раз, что выражение «состояние» подразумевает чистое состояние).
Полную вероятность принято нормировать на единицу:
Ill’ll2 = J t)?d? = 1, (1.3)
где интегрирование производится по всей области определения функции t). Следовательно, волновая функция должна быть квадратично интегрируемой.
Положение о том, что только квадратично интегрируемые функции описывают реальные состояния физических систем, является важнейшим исходным положением квантовой механики. Однако в аппарате квантовой механики нередко используются и такие состояния, которые не описываются квадратично интегрируемыми функциями. Эти состояния играют вспомогательную роль, а их связь с реальными состояниями надо выяснять в каждом случае специально.
Множество всех квадратично интегрируемых комплексных функций вещественных переменных является линейным гильбертовым пространством, которое в математике обозначается символом 1/2. Таким образом, в квантовой механике постулируется, что каждому состоянию системы сопоставляется некоторый элемент (вектор) пространства 1/2. Скалярное произведение в этом пространстве вводится с помощью соотношения
{ф!\ф2) = J (1.4)
где -01, Ф2 — любые элементы 1/2; звездочка обозначает комплексное сопряжение. Это определение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, в частности
(ФАФъ) = (V^i)*- (1-5)
Другие важные свойства пространства 1/2 приведены в Дополнении 1.
Лекция 1
13
Рассмотрим некоторые примеры квантово-механических систем.
1. Система к частиц. Эта система имеет 3к степеней свобо-
ды. В качестве обобщенных координат } можно выбрать пространственные координаты Yj этих частиц, т. е. = {г? }
Волновая функция системы есть
Ф(?, t) =ф(Г1, Г2, rk, t).
2. Твердое тело. Эта система имеет 6 степеней свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать 3 координаты
центра масс твердого тела и 3 угла Эйлера {скг}р харак-
теризующих его ориентацию в пространстве. Волновая функция системы принимает вид
t) = ФЫ, х2, х3, с*1, а2, а3, t).
§ 2. Физические величины в квантовой механике
Полное описание состояния физической системы в момент времени t состоит в указании вероятностей тех значений, которые могут быть получены в результате измерения всех независимых физических величин, характеризующих систему. В § 1 мы уже рассмотрели этот вопрос в отношении тех физических величин, которые являются аргументами волновой функции состояния. Теперь рассмотрим и другие физические величины.
В квантовой механике постулируются следующие положения.
Постулат 1. Каждой физической величине F сопоставляется некоторый линейный эрмитов оператор F, действующий в пространстве 1/2 (или в более широком пространстве, включающем I/2). Явный вид операторов основных физических величин постулируется. Физической величине G, которая является функцией другой физической величины F, сопоставляется оператор
G=|(G(F) + (G(F))+); (2.1)
крест обозначает эрмитово сопряжение.
Условимся о терминах и обозначениях.
Пусть и ip2 — произвольные элементы (векторы) в 1/2. Оператор F+ называется эрмитово сопряженным по отношению
14
Раздел 1
к оператору F, если выполняется равенство
(ИРФ*) = (Р+Ф1Ш. (2.2)
Скалярное произведение векторов ф\ и F^2 будем также записывать в форме
(V>i№) = (V’il-^IV’2)- (2.3)
О правой части этого соотношения мы говорим, что оператор F взят «в обкладках» векторов ф\ и ф2. В новой форме условие (2.2) переписывается следующим образом:
<^i|%2> = (2.4)
Оператор F называется эрмитовым, или самосопряженным, если в 1/2 выполняется соотношение
F = F+, (2.5)
т. е. для любых ф± и Ф2 из 1/2 справедливо
(^l|%2) = <^2|%l)*. (2.6)
Все необходимые сведения о линейных операторах и их свойствах приведены в Дополнении 2.
Постулат 2. Физическая величина F в любом кванто-во-механическом состоянии может принимать только те значения, которые принадлежат спектру ее оператора F.
В общем случае спектр оператора F представляет собой совокупность точечного (дискретного) спектра F\, F2, ..., Fn, и непрерывного спектра {/}. Каждое значение физической величины представлено в состоянии ф(?, t) с какой-то вероятностью, которая, вообще говоря, меняется со временем. Пусть p(Fn) — вероятность того, что в состоянии ф(?, t) в момент времени t физическая величина F имеет значение Fn, пусть р(/) — соответствующая плотность вероятности для окрестности точки / непрерывного спектра. Мы будем говорить, что совокупность значений p(Fn) и p(f) дает распределение физической величины F в состоянии ф(?, t). Очевидно условие, которому удовлетворяет это распределение:
