Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
4 - 4 - 4 - 4 - zI = "Я-2 . (28.31)
Здесь Zq , ..., Z4 - декартовы координаты евклидова пространства. Метрика на гиперповерхности (28.31) вида
ds2 = dz2 - dz\ - dz2 - dz2 - dz\ (28.32)
совпадает с метрикой (28.30). Чтобы увидеть это, введём глобально на гиперповерхности (28.31) четыре параметра - время и точку на трёхмерной единичной сфере - согласно формулам
Z0 = H-1Sh(Ht) , Za = H-lCh(Ht) па, а =1,2, 3,4, ?>2=1.
а
В этих параметрах метрика (28.32) принимает вид (28.30).
Согласно (28.29) минимальное значение переменной amin достигается при t = 0. Легко проследить, что am;n = Я-1 соответствует
345 классической точке поворота а2 V = 1 в терминах переменных, используемых в пункте 28.3.
В классически недоступной области 0 < а < Н~1 (или а2 V < 1) экстремум евклидова действия I (28.21) достигается на решении, которое может быть получено из решения (28.29),(28.30) при помощи замены і = —іт. Тогда метрика принимает вид
ds2 = dr2 + Н~2 cos2 (Ht) du23 , а{т)=Н~1 cos(Ht), -^<Нт< 0. (28.33)
Метрика (28.33) является метрикой на сфере S4. В теории поля экстремумы евклидова действия, на которых действие ограни ієно, принято называть инстантонами.
Таким образом, мы имеем следующую полуклассическую картину рождения Вселенной: Вселенная рождается из ничего при помощи ипстаптона S4_y который является половиной сферы S4. Граница этой полусферы S4_^ есть сфера S31 которую обозначим E . На границе E от евклидова пространства S4_ > отщепляется четырёхмерное псевдоевклидово пространство с метрикой (28.30), и начинает течь время. В рассмотренной здесь модели при сделанных предположениях в нулевой момент времени начинается экспоненциальное расширение радиуса Вселенной согласно формуле (28.29), причём минимальное значение радиуса Вселенной согласно (28.7) имеет порядок
^min ~ Ip Cmin---J===. (28.34)
уУ(Фо)
Отсюда вследствие (28.13) имеем
»¦min » Ip ¦ (28.35)
Фазис экспоненциально быстрого раздувания Вселенной называется инфляцией. В настоящее время считается, что фазису степенного расширения Фридмана согласно формуле (21.38) предшествовал фазис инфляции, описывающийся формулой (28.29). В противном случае невозможно объяснить высокую степень однородности Вселенной на масштабах Lo порядка IO10 световых лет. Действительно, любые квантовые оценки как квазиклассические, использующие
346 функции (28.20а) или (28.24а), так и общие, использующие лишь размерностные аргументы, показывают, что области однородности волновой функции Вселенной в начальный момент времени t = 0 не могут существенно превышать планковский масштаб 1р. Это означает, что при современном возрасте Вселенной to ~ Ю10 лет масштабы областей однородности в теории Фридмана могут оцениваться при помощи формулы (21.38), в которой aj ~ 1р. Таким образом, L ~ \/lpcto ~ \/lp Lo ~ IO-2 см. Однако наблюдаемый масштаб однородности Вселенной имеет порядок Lq ~ IO28 см. Отсюда видно, что на фазисе инфляции должно произойти раздувание Вселенной оценочно в (L0/lp) ~ IO60 раз.
На рис. 12 схематически изображена описанная полуклассическая картина рождения Вселенной.
Заметим, что к описанной физической картине приводят также многие другие модели. Например, согласно уравнению (13.31) роль потенциала скалярного поля может играть Л-член. Имеются и другие возможности (см. последний параграф третей части настоящего курса лекций).
Посмотрим, к каким космологическим предсказаниям приводят волновые функции (28.20а) и (28.24а). Мы будем предполагать, что квадрат модуля волновой функции | Ф(а, ф) |2 пропорционален вероятности нахождения Вселенной в точке минисуперпростран-ства (а,ф). Эта гипотеза имеет чисто спекулятивный характер, поскольку, в отличие от ситуации в классической квантовой механике,
347 в квантовой космологии наблюдатель является частью единственной квантовой системы. Поэтому наблюдатель не может воспроизводить эксперимент по рождению Вселенной для того, чтобы проверить вероятностную интерпретацию волновой функции. Тем не менее в настоящее время преобладает вероятностная точка зрения на квантовую волновую функцию Вселенной, сформулированная выше. При этом не исключается, что волновая функция окажется ненор-мируемой. В этом случае можно говорить лишь об относительных вероятностях, предсказываемых волновой функцией.
Сначала рассмотрим волновую функцию Виленкина (28.20а), которая описывает раздувающуюся Вселенную. В этом случае плотность вероятности пропорциональна следующей экспоненте:
Рт{а, Ф) ~ Ct ехр
3 У(ф)
(28.36)
Здесь Ст - некая положительная константа. Мы сохранили лишь экспоненциальную зависимость плотности вероятности как наиболее существенную. Мы видим, что плотность вероятности не зависит от радиуса Вселенной, но очень сильно зависит от потенциала скалярного поля. Формула (28.36) показывает, что в момент рождения а2 У(ф) = 1 Вселенная с максимальной вероятностью находится в состояниях с максимальным значением потенциала У(ф), если он неотрицателен. (В обычной квантовой теории поля потенциалы скалярных полей, как правило, неотрицательны). Но если в момент рождения Вселенной с максимальной вероятностью реализуется состояние с максимально большим и положительным значением потенциала У(ф), то согласно (28.28) и (28.29) начинается фазис инфляции. Таким образом, волновая функция Виленкина явно предсказывает разумный сценарий.
