Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Во втором положении свойства интересующего нас унитарного преобразования U описаны лишь в самых общих чертах. Ниже это унитарное преобразование строится явно для изучаемой здесь модели двумерной гравитации. Эквивалент формулы (29.20) имеет при этом более сложный вид. Тем не менее при помощи построенного унитарного преобразования удается достаточно далеко продвинуться в вычислениях.
29.2. Квантование чистой гравитации
Применим методы безаномального квантования двумерной чистой гравитации, разработанные в [53].
Пусть a = 0, 1 и т]аь — diag(—1, 1). В калибровке ы = 1, v = 0 уравнения Гейзенберга для полей ra , 7га = г]аЬтть имеют вид
д2 д2 \ ( д2 д2 \ W-^jra=0' Ы-^г= 0- (29-22)
Следовательно, поля га и тг" содержат как положительно-, так и отрицательночастотные моды:
V4Tr V4tt ^0 n я-» = ^= + -L ? К + <5° e~ina ). (29.23)
Положим ад = ag = ра. Из условий вещественности полей (29.23) вытекает, что
х^ = х", а^ = аа_п, a°J=aa_n. (29.24)
358 Для того чтобы выполнялись коммутационные соотношения (29.17), необходимо, чтобы ненулевые коммутаторы новых переменных имели вид
[aam,abn} = [aam;abn} = mrjab Sm+n, [ха, pb] = irjab . (29.25) Набор операторов (29.16) эквивалентен двум сериям операторов
1 Г2*
Ln = - dae"n°(? + V), ^ Jo
Ln = If daeina{?-V), п = 0, ±1,.... (29.26)
2 Jo
При помощи (29.23) находим
I _^ _ і _^
Ln = 2 : E an-m > Ln~ 2 - L aam ¦ (29.27)
т m
Упорядочение операторов в (29.27) определяется в соответствии с общими условиями квантования и играет решающую роль. Целью квантования является отыскание такого пространства физических состояний, на котором все операторы (29.27) обращаются в нуль и в котором имеется математически корректное и положительно определенное скалярное произведение.
Здесь мы реализуем два подхода к квантованию изучаемой системы.
Первый подход общеизвестен. Он был сформулирован Дираком и описан в пункте (23.2). Далее физические волновые функции Дирака, удовлетворяющие уравнениям (23.35), мы снабжаем нижним индексом PD.
При квантовании (23.35) - (23.36) возникает следующая трудность (подробнее см. [53]). Из условий (23.35) вытекает, что все физические состояния не зависят от некоторых исходных динамических переменных. По этой причине возникают проблемы:
а) определения скалярного произведения на пространстве физических состояний и
б) вычисления матричных элементов относительно физических состояний.
Дело в том, что не все исходные динамические переменные являются операторами в физическом пространстве состояний. Поэтому
359 матричные элементы от этих переменных в физическом пространстве не определены. Хотя наблюдаемые величины не зависят от указанных динамических переменных, тем не менее при вычислении матричных элементов от наблюдаемых величин в физическом пространстве также могут возникнуть серьезные трудности.
Далее квантование (23.35) - (23.36) мы будем называть первым методом квантования.
В работе [54] к системе (29.25), (29.26) был применен другой метод квантования. Идея этого метода квантования заключается в некотором ослаблении условий Дирака (23.35) путем замены их условиями:
Здесь индекс P нумерует физические состояния. В (29.28) идёт усреднение по всем калибровочным степеням свободы, но не по физическим степеням свободы. Условия квантования (29.28) подобны условиям квантования Гупта-Блейлера в электродинамике, когда равенство d?A? = 0 имеет место лишь в среднем, а также условиям квантования в обычной теории струны, когда генераторы алгебры Вирасоро удовлетворяют условиям Ln = 0 также лишь в среднем. При этом усреднение производится относительно физических состояний.
Фундаментальное отличие предлагаемого здесь пути квантования от квантования Гупта-Блейлера и общепринятого квантования струны заключается в том, что при нашем подходе полное пространство состояний снабжено положительно определенным скалярным произведением. Ниже показывается, что этот факт позволяет провести безаномальное квантование двумерной струны.
В качестве условий непротиворечивости теории, заменяющего условия Дирака (23.36), теперь мы имеем
Физический смысл условий (29.29) заключается в следующем. Пусть гамильтониан системы имеет такой вид, как в общековариантных теориях: %т = Y^j vmXm- Предположим, что в момент времени t условия (2.9) имеют место. В бесконечно близкий момент времени t + St связь Xn равна
(P\Xm\P)G = 0.
(29.28)
<P\[Xm,Xn]\P)G = 0¦
(29.29)
Xn{t + St) = Xn{t) +iSt Vm [Xm, Xn]M •
m
360 Поэтому условия непротиворечивости (29.29) означают выполнение равенств (29.28) в любой момент времени.
Метод квантования (29.28) - (29.29) далее называется вторым методом квантования.
Сначала применим к модели (29.27) первый метод квантования.
Введем обозначения:
х±=х°±х\ aM = a°m±a1m, = (29.30)
Ненулевые коммутационные соотношения новых переменных получаются при помощи (29.25):
[о^Я = -2mSm+n , [a(+\ 0(,"'] = -2rnSm+n ,
] = [*_, 4+> ] = -2i<J„. (29.31)
Запишем операторы (29.27) в новых переменных:
