Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Плотность вероятности для волновой функции Хартла-Хокинга качественно отличается от уже рассмотренной. При помощи (28.24) находим в области а2 V ~ 1:
рнн {а, Ф) ~ Ch ехр
+
з У(Ф)\
(28.37)
Отсюда видно, что плотность вероятности Хартла-Хокинга предсказывает с наибольшей вероятностью такие состояния, в которых положительный потенциал скалярного поля минимален. На первый
348 взгляд этот результат означает, что решение Хартла-Хокинга противоречит сценарию инфляции. Однако этот вывод может оказаться ошибочным по следующей причине.
В последние годы в квантовой космологии обсуждается так называемый антропний принцип. Очевидно, что в квантовой космологии наблюдатель принципиально может наблюдать лишь только такую Вселенную, в которой имеются все условия для существования интеллектуальной жизни. В противном случае не могло бы существовать самого наблюдателя, который является частью Вселенной. Согласно антропному принципу, даже если вероятность возникновения "благоустроенной" Вселенной исчезающе мала, только Вселенная, населенная разумными существами, и может наблюдаться. Но такая Вселенная должна пройти фазис инфляции, чтобы образовалось однородное пространство на гигантских масштабах по сравнению с масштабами планетных систем, и средняя плотность вещества стала бы такой, как она есть в настоящее время.
Исходя из антропного принципа, мы не можем отбросить волновую функцию Хартла-Хокинга (28.24). Лишь будущие исследования дадут критерий отбора квантового состояния Вселенной. Заметим, что в последнее время появился третий вариант для волновой функции Вселенной в минисуперпространственной модели [48].
В заключение этого пункта укажем на существование красивой идеи, согласно которой "локальные" наблюдения принципиально не позволяют выделить какую-либо из возможностей осуществления начала инфляционной фазы (см. [64]). Под "локальными" наблюдениями здесь подразумеваются те наблюдения, которые может произвести человечество на протяжении своей истории; эти наблюдения всегда будут охватывать конечные участки пространства-времени. Из этой идеи следует, что волновые функции Хартла-Хокинга, Виленкина и др. физически неразличимы. Более того, согласно сформулированной идее не исключаются также принципиально иные пути установления де ситтеровского режима.
Указанная идея основывается на следующей качественной оценке. Обозначим через S энтропию Вселенной. Согласно простейшей оценке, приведенной ниже, в начале фазы инфляции
S > IO10 . (28.38)
Поскольку энтропия есть логарифм числа состояний, то оценка (28.38) означает, что начальное состояние Вселенной не может быть
349 чистым состоянием, это состояние должно описываться сложной матрицей плотности. Поэтому волновые функции Хартла-Хокинга, Виленкина и т.д. физически неразличимы.
Для оценки энтропии начального состояния Вселенной воспользуемся формулой (28.3), согласно которой амплитуда перехода в мнимом времени может интерпретироваться как матрица плотности, причем мнимое время т играет роль обратной температуры. Как известно, след матрицы плотности равен ехр(—F/T), где T -температура, a F=E-TS - свободная энергия. В теории гравитации энергия E = 0, и потому след матрицы плотности равен exp<S.
Оценим след матрицы плотности функционального интеграла (28.5-28.6). Так как волновые функции (28.5) вещественны, то вычисление следа в матрице плотности (28.3) эквивалентно вычислению функционального интеграла (28.5) для замкнутых траекторий в суперпространстве. Этот функциональный интеграл в квазиклассическом приближении оценивается как экспонента от экстремального действия в минисуперпространстве при помощи формул (28.22— 28.23). При этом следует учесть, что волновые функции в матрице плотности должны браться в той точке, где возникает реальное время, т.е. в классической точке поворота а2 V = 1. Сказанное означает, что следует вычислить действие —/ = S в (28.23) на конфигурации (28.33), причем — < HT < Такая полевая конфигурация является инстантоном, поскольку эта конфигурация классического поля является решением классических уравнений в мнимом времени с некими специальными граничными условиями в нуле и конечным
действием. При помощи (28.23), (28.11) и (28.28) находим
5<28-39'
Поскольку Ip H ~ Ю-5, то мы получаем оценку (28.38).
28.5. Выход за рамки
минисуперпространственной модели
Возникает естественный вопрос об устойчивости волновых функций Виленкина и Хартла-Хокинга, определённых на минисуперпространстве. Поставим задачу следующим образом.
350 Допустим малые флуктуации метрики на фоне метрики пространства де Ситтера (28.30) и малые неоднородные флуктуации скалярного поля. Например, для скалярного поля будем пользоваться разложением
Ф(а) = X] fN{t)QN{na) ¦
N
Здесь Qn(TIo) - полный ортонормированный набор сферических функций на сфере S3, а { /дг (t) } - новый набор динамических переменных скалярного поля. Аналогичное разложение и все дальнейшие действия подразумеваются для метрического тензора. Предполагая величины /jy малыми, будем искать волновую функцию в виде
