Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь опишем волновую функцию, предложенную Хартлем и Хокингом [39-41] в этой же модели. Её обозначают Фяя-
Для построения функции Фяя согласно (28.5) прежде всего выпишем евклидово действие (28.6) в рассматриваемой модели. Согласно данным определениям — I = iS, где действие задаётся согласно формулам (28.8) и (28.9), в которых делается замена t = —гт. Таким образом,
" N } + — U(a, ф) > . (28.21)
Мы пренебрегли вкладом в действие, пропорциональным а3(йф/йт)2, что оправдано при малых а (см. выше). Согласно (28.5) и (28.21):
Фяя («, Ф) = const / П da'(T) ехр[-/{а', ф}], J T
а'(0) = 0 , а'(г > 0) = а > 0 . (28.22)
В (28.22) поле ф играет роль параметра. Это справедливо в случае (28.15) при малых а.
Ввиду плохой сходимости функциональный интеграл (28.22) требует доопределения. Однако в квазиклассическом приближении ин-
341 теграл насыщается перевалом или экстремалью действия I. В экстремальной точке, в частности, имеем SI/SN = 0, или
N2 = —
da
U \dr
Подставим найденное значение N (которое, как было показано, всегда положительно) в евклидово действие. При этом мы считаем, что U > 0. Имеем
dr — \JU(а', ф) = J da' Vи(а',ф).
(28.23)
Из (28.23) видно, что в квазиклассическом приближении волновая функция Хартла-Хокинга в классически недоступной области растёт при возрастании переменной а. Кроме того, функция Фяя вещественна. Эти два условия однозначно определяют квазиклассическую волновую функцию Хартла-Хокинга при малых а:
Фяя = 2 (а2 V -I)-1/4 (ехр J7)
(а2 V - I)3/2
3 V
Ф
нн
= (1 — Q2 V)'
-1/4
ехр
a2V> 1, 1-(1 -а2 V)3'2
3 V
(28.24а) а2 V < 1. (28.246)
Волновая функция Хартла-Хокинга является суперпозицией двух состояний, описывающих сжимающуюся и раздувающуюся Вселенную. Иными словами, Фяя описывает падающую волну к сингулярной точке а = 0 и отражённую волну.
На рис. Ila и 116 изображены соответственно волновые функции Виленкина и Хартла-Хокинга. На этих рисунках сплошные линии являются графиками потенциала U(а, ф), причём переменная ф играет роль параметра. Пунктирные линии представляют графики волновых функций или их частей. Так, на рис. Ila при а2 V < 1 график Ф+ представляет функцию (28.206) или первое слагаемое в (28.196), которое растёт при стремлении а к нулю, а график Ф_ представляет второе (чисто мнимое) слагаемое в (28.196), которое уменьшается по модулю при стремлении а к нулю. Из рис. 116 видно, что волновая функция Хартла-Хокинга в области а2 V < 1 содержит лишь часть Ф_.
342 V+
и
V-
а
Рис. Ila
Область а2 V > 1 является классически доступной, в которой волновые функции имеют колебательный характер, т.е. пропорциональны мнимой экспоненте или их суперпозиции. Стрелки указывают направление распространения волновых пакетов. В случае волновой функции Виленкина стрелка на рис. Ila направлена в сторону возрастания радиуса Вселенной, а в случае волновой функции Хартла-Хокинга две стрелки на рис. 116 указывают на наличие суперпозиции двух волновых пакетов, движущихся в противоположные стороны.
28.4. Интерпретация волновых функций Фт и Фяя
Прежде всего найдём классическое решение для системы, описываемой действием (28.8), при условии выполнения предположений Фридмана: пространство однородно и изотропно, а скалярное поле однородно в пространстве и достаточно медленно изменяется во времени. Последнее предположение реализуется, если существует такое значение фо, для которого У'(фо) = 0. Действительно, тогда уравнение движения для скалярного поля
Оф0 + У'(фо) = 0
(28.25)
удовлетворяется, если только дцфо = 0.
343 Предположим, что поле ф почти равно значению фа и что
У(ф0) > 0.
Заметим, что из этого предположения вытекает ограничение (28.15). Кроме того, согласно определению (12.3), в точке ф0 тензор энергии-импульса равен
Т?(ф0) = 5ЦУ(ф0). (28.26)
Для удобства перейдём к переменным
jT IPN . IP
Cit = —т=— cit , а = —у=— а ,
\/24 7Г Л/24 7Г
в которых метрика (28.7) принимает более простой вид:
Js2 = (Й2 - a2 . (28.27)
Метрика (28.27) совпадает с метрикой (21.20), если положить a drj = = dt. Поэтому уравнения Эйнштейна получаются из уравнений (21.29) путём замен:
T-WI \ da _ da
є^аУ(ф0), Т = аТї.
344 Имеем
(28.28)
Поскольку Я - постоянная величина, то решение уравнения (28.28) имеет вид (далее мы опускаем черту над переменными)
a(t) = H~l ch(Ht), (28.29)
ds2 = dt2 - Я"2 Ch2(Ht) dVt\. (28.30)
Если поле ф слабо отличается от значения фо, то компоненты тензора Т}}, а тем самым и величина Я, оказывается медленно меняющейся. В этом случае формула (28.29) с медленно меняющейся величиной Я является достаточно хорошим приближением к точному решению уравнения (28.28) в очень широком диапазоне переменной а.
Очевидно, что в формуле (28.30) переменная времени может изменяться в пределах — оо < t < +оо. Пространство (R x S3) с метрикой (28.30) называется пространством де Ситтера. Пространство де Ситтера может быть представлено как четырёхмерная гиперповерхность в пятимерном евклидовом пространстве, заданная уравнением
