Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
v п vTl
эти уравнения переписываются в более удобном виде:
z(+V)z(->(<r) = 0, *(+V)I("V)= 0. (29.48')
Функции z(+)(cr), г^-Цсг), г(+Ц<г) и г' \<г) являются вещественными и периодическими, и их нулевые гармоники удовлетворяют (29.46) и (29.47). Состояния
|z,z±)p = |±z,±z;G)®|0O±)p (29.49)
называются базисными физическими состояниями, если выполнены условия (29.47) и (29.48').
Согласно данным определениям базисные физические состояния имеют следующие свойства:
а°_т I г, z± )р = ±z°_т I г, z± )Р , alm\z,z±)p = ±z1m\z,z±)p, то > 0. (29.50)
Из формул (29.44), (29.48) и (29.50) немедленно следует, что в нашем случае условия (29.28) выполнены:
(z,z± \Ln\z,z±)p = 0, (z,z±\Ln\z,z±)pG = Q. (29.51)
Проверим выполнение условий самосогласованности (29.29). Для этого достаточно убедиться, что
(z,z± |( LnL-n - L-nLn ) j z,z± )pg = 0. (29.52)
365 Простое вычисление показывает, что
In п
LnL-n = - Yj т(п - т) + п (*0 )2 + 2n J2 +
т—1 т=1
оо оо
+ Y (n+m) CtlmG1m+ Y {m-n)a°m5°_m+:LnL^n: . {29.53)
m=n + l m=n + l
Аналогично
^n n
L-nLn = r E m{n - m) + n {a°0)2 + 2n Y +
2
m=l m=l
+ ? (n+m) &°m a°_m + Y {m-n) CtmV1m+'.L-nLn : . (29.54)
m=n + l m=n + l
Здесь операторы йа выражаются через операторы а(+), так
же, как операторы аа - через операторы а'+',
Так как : L71L^71 :=: L^71 Ln :, то из последних двух равенств имеем
LnL^n - L-nLn = 2n L0- (29.55)
Упорядочение в правой части равенства (29.55) задается согласно (29.44). Из (29.55) видно, что уравнения (29.52) удовлетворяются, то есть выполняются условия самосогласованности (29.29). Заметим, что, вообще говоря,
(z, z± \LnL-n\z, z±)pg # 0. (29.56)
Мы видим, что второй метод также приводит к самосогласованной квантовой теории модели (29.27).
Коротко обсудим принцип суперпозиции при втором методе квантования.
Предположим, что состояния I z,z±)p и \z',z'+)p -физические. Является ли состояние
\z,z±)p + \z',z'±)p (29.57)
физическим?
Нам представляется, что принцип суперпозиции не обязательно распространять на нефизические, калибровочные степени свободы. Поэтому если в более сложных теориях при втором методе
366 квантования принцип суперпозиции в пространстве Hg окажется ограниченным, то это, по-нашему мнению, не обесценит метод. В пространстве физических состояний принцип суперпозиции сохраняется в полном объеме.
29.3. Включение материи
Из коммутационных соотношений (29.17) и антикоммутационных соотношений (29.18) видно, что бозонные и фермионные поля имеют следующие разложения по модам (ср. с (29.23) - (29.25)):
і
/я- л/4тг
^ ^ ^o П = JL + J_J2(an ein° + an е-'"* ), (29.58)
njt 0
<t>(<r) = -j=j2?n'in°, = 4= E^ e^ntr- (29-59)
* "" П V "" n
Далее полагаем p = ото = ao. Вследствие вещественности полей (29.58) и (29.59) имеем
St = X , a* = ar_„ , or.
?l = ?-n, ?l = ?-n- (29.60)
Коммутационные соотношения (29.17), (29.18) равносильны соотношениям:
[am, an ] = [am, an] = rnSm+n , [ж, p] = і, (29.61)
{?m,?n} = {?m,?n} = sm+n. (29.62)
Мы выписываем лишь ненулевые коммутационные соотношения. Операторы (29.27) будем обозначать далее через L^c^ и соответственно. С учетом вклада материальных степеней свободы компоненты Фурье (29.26) имеют вид
Ln = Ф + ^E К — '*»> + (m - I ) ?n-m?m ] • (29.63)
т
Построение указанного в конце Введения унитарного преобразования, решающего проблему квантования, удобно начинать с определения операторов рождения и уничтожения поля (29.21). Иными
367 словами, первая наша задача заключается в построении бозонных и фермионных операторов рождения и уничтожения материи, которые коммутируют со всеми операторами (29.63). Мы увидим, что имеет решение несколько ослабленная задача. Этого достаточно для наших целей.
Рассмотрим "гравитационно обработанные" операторы материальных полей:
Am = Y Мт,пап, Am = Y-MmtnUn, (29.64)
П П
Bm=YFMm,n?n, Bm = YpMm,n~?n- (29.65)
п п
Бесконечномерные матрицы Мт>п , Мт>п, FMm,n и F Мт,п в (29.64) и (29.65) определены в Приложении. Элементы этих матриц зависят от операторов [х+/р+ , ат^ /р+, affl/p+), взаимные комм-мутаторы которых равны нулю. Поэтому все элементы матриц в
(29.64), (29.65) взаимно коммутируют.
Легко проверить путем прямых вычислений, что ненулевые коммутаторы операторов (29.64) и (29.65) имеют следующий вид:
[Ат, An] = [Ат, An] = тб m+n з (29.66а)
{Вт, Bn) = {Вт, вп} = S m-f п • (29.666)
Действительно, при помощи (29.61), (29.64) и (П14) находим
[Ат, An] = Y lMmlI Mn-I = -П Y Mm,і M^i„ = mSm+n.
I I
(29.67)
Тем самым равенства (29.66а) установлены. Вследствие (29.62),
(29.65) и (П14') имеем
{ Bm, Bn } = Y FMm/Mn,-і = Y FMm/M;l_n. (29.68) ( (
Отсюда следует справедливость коммутационных соотношений (29.666).
Введенные здесь операторы (29.64) и (29.65) лишь незначительно отличаются от DDF-операторов, используемых в теории струны (см. [19, 56]).
368 Из данных определений легко видеть, что
[ат \ An] = [a«, An] = [а(+), Bn] = [а?\ Bn] = 0. (29.69)
