Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что в квантовой теории гравитации, кроме выбора модели, необходимо сделать некое предположение о поведении волновой функции. Это физическое предположение является неотъемлемой частью определения квантовой теории.
В настоящее время активно обсуждаются два (в последнее время - три) предположения или прескрипции относительно вида волновой функции Вселенной.
28.1. Прескрипция Хартла и Хокинга
Гипотеза Хартла-Хокинга и следствия из неё изложены в ряде работ [39-41, 49].
332 Прежде чем сформулировать ирескрипцию Хартла-Хокинга, необходимо сделать следующее замечание относительно построения волновой функции основного состояния в обычной квантовой механике.
Пусть гамильтониан системы не зависит от времени и ограничен снизу. Рассмотрим амплитуду перехода системы за время і из состояния с координатой q' в состояние с координатой q ( с, ft = 1):
( q,t I О ) = { q I e-u Н I q') = ? фт (q) ф*т (?') exp (-І Emt) .
т
(28.1)
Здесь {фт{ч) } ~ полный ортонормированный набор собственных функций гамильтониана и H фт = Ern фт. Пусть Ern > 0 и энергия основного состояния Eq = 0.
Теперь сделаем поворот Вика, который для амплитуды перехода (28.1) означает переход к мнимому времени согласно формуле
t = -ir, (28.2)
где т - вещественный параметр, называемый мнимым временем. Знак в правой части равенства (28.2) однозначно определяется видом поворота Вика в импульсном пространстве в квантовой теории поля (см. начало пункта 27.2). В непрерывном виде поворот Вика представляется как q° = (exp іф) qA , 0 < ф < 7г/2. Но тогда для временной координаты должна иметь место формула х° = (ехр —г<^) т. В этом случае причинная гриновская функция в координатном пространстве (26.81) определена для всех значений ф, если непрерывный поворот Вика осуществляется синхронно в импульсном и KOOfb динатном пространствах. При таком определении поворота Вика соответствующее преобразование пропагаторов как в импульсном, так и в координатном пространствах получается путём аналитического продолжения.
После перехода к мнимому времени амплитуда перехода (28.1) принимает вид
<?, -fr I q', 0) = ФЛч) Ф*п(ч') exp(-r En). (28.3)
п
Перейдём в формуле (28.3) к пределу т —> +оо. Так как En > Eq = 0, если п ф 0, то в этом пределе в сумме (28.3) останется лишь одно слагаемое, равное фо{д)фо{я')- Как известно, в
333 квантовой механике основное состояние не вырождено, и волновая функция основного состояния не имеет узлов. Следовательно, амплитуда перехода (28.3) из произвольной точки в точку q в пределе бесконечно большого мнимого времени пропорциональна волновой функции основного состояния ipo{q)- С другой стороны, эта же амплитуда перехода может быть представлена в форме евклидовско-го функционального интеграла, который получается из выражения (26.21) при помощи подстановки (28.2). В результате мы получаем следующую важную формулу для волновой функции основного состояния:
Мя) = IJll W) -P (-/ %
q'(T) = q, т +оо . (28.4)
Здесь I{q, dq/dr} - евклидово действие, которое в случае одномерного движения с лагранжианом С = (т/2) q2 — U(q) имеет вид
Обратим внимание на то, что для большинства физически интересных потенциалов евклидово действие (28.5) положительно определено, и потому функциональный интеграл (28.4) имеет непосредственный смысл. Волновая функция (28.4) автоматически оказывается вещественной и без узлов.
Теперь мы готовы сформулировать прескрипцию Хартла-Хокин-га для нахождения волновой функции основного состояния Вселенной. Согласно их предписанию, волновая функция основного состояния Вселенной может быть представлена следующим евклидовским функциональным интегралом:
Voigij, Ф] =J Jc dp{g', Ф'}ехр(-І{д',ф'}). (28.5)
Евклидовский функциональный интеграл (28.5) возник из амплитуды перехода (26.69) по правилу, приводящему к интегралу (28.4). Это правило подразумевает переход к мнимому времени т согласно формуле (28.2). В результате этого метрика в пространстве-времени меняет сигнатуру и становится локально евклидовой, то есть все
334 собственные значения метрического тензора g?L, становятся положительными. Евклидовское действие в (28.5) имеет вид
где R - скалярная кривизна на 4-мерном многообразии с локально евклидовской метрикой, а 1м - евклидово действие материи. Символом ф мы обозначили совокупность всех материальных полей. Однако далее изучается частный случай, когда в теории имеется лишь одно вещественное скалярное поле и
Знак перед первым слагаемым в (28.6) легко фиксируется. Для этого следует провести поворот Вика в выражении для квадратичной части действия (27.148). Интегрирование в (28.5) означает суммирование по классам калибровочно-эквивалентных конфигураций полей. Это означает, что мера в (28.5) содержит множитель, фиксирующий калибровку, а также детерминант Фаддеева-Попова (см. § 26). В интеграле (28.5) С обозначает некий класс евклидовских гладких метрических пространств У, таких, что граница дУ = X\JX', причём трёхмерные гиперповерхности X' и X снабжены фиксированными метриками д'ц и gij соответственно.
