Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что в теории гравитации диаграммная техника Фейнмана не является корректно определённой. Поэтому мы ограничимся лишь самыми общими замечаниями о свойствах диаграмм Фейнмана в теории гравитации.
Общие принципы построения диаграммной техники возмущений здесь такие же, как обычно: поля представляются в виде суммы классической и квантовой частей, как в (27.35), затем полное эффективное действие разлагается относительно квантовых полей:
квантовых полей и по нему определяются пропагаторы теории. Все остальные S^ с і > 0 дают нелинейные вклады в теорию, и они определяют вершины в диаграммной технике.
В простейшем варианте классические составляющие полей удовлетворяют наиболее простым классическим уравнениям. Например, рассмотрим теорию чистой гравитации, определённую на топологически тривиальном многообразии. Тогда метрический тензор может быть представлен в виде суммы (см. (27.100), (27.101),
где Hfiv - квантовое поле. Согласно (27.118),(27.116) в гармонической калибровке
(26.69)):
(27.147)
(27.148)
327 Здесь и ниже в качестве тензоров P и P-1 следует пользоваться соответственно величинами (27.116), в которых делаются подстановки g?u —» Tjfiu. Из (27.148) мы находим пропагатор гравитонов в гармонической калибровке (сравни с результатами пункта 27.1):
Diiu і Хр(к) =-J (г7мл Tiup + тім Цих - rt?U цхй). (27.148)
Аналогично можно получить пропагатор духов, который мы не выписываем.
В теории гравитации, в отличие от ф4-теории, квантовой электродинамики, квантовой хромодинамики и множества других теорий, содержатся вершины с любым числом входящих (или выходящих) линий. Действительно, разложение величины R относительно квантового поля h?U не обрывается. Другая особенность теории гравитации заключается в том, что каждая вершина содержит две производных в координатном пространстве. Это означает, что любые два пропагатора, выходящие из заданной вершины, в координатном представлении дифференцируются, а в импульсном представлении - умножаются на некие линейные однородные формы от импульсов, текущих через эти пропагаторы. Эта особенное" ь вершин следует из того, что каждое слагаемое S^ в (27.146) содержит поле h?u tx во второй степени. Отметим, наконец, что слагаемое S^ пропорционально множителю (Ip)1, где Ip ~ IO-33 см - планков-ский масштаб (27.147). Таким образом, S^ является локальным однородным функционалом степени і относительно полей Iifiu и степени 2 относительно полей Hflu tx, который порождает вершину с (г + 2) концами.
Мы видим, что описанный ряд диаграмм Фейнмана в теории гравитации является рядом по положительным степеням размерной величины 1р. Другая размерная величина, появляющаяся в теории -это импульс обрезания расходящихся диаграмм А, так что фактически разложение идёт по безразмерной величине
X = IpA. (27.149)
Если А —»¦ оо, то некорректность описанной теории возмущений очевидна.
Вычислим формальный индекс диаграммы. Пусть L-петлевая диаграмма имеет s вершин и Ljn внутренних линий. Тогда в
328 гг-мерном пространстве и> = п L — 2 Lin + 2s. Действительно, вклад nL происходит от L интегрирований по n-импульсам, вклад 2s дают S вершин, каждая из которых несёт две пространственных производных и вклад (—2 Lin) дают Lin пропагаторов, имеющихся в диаграмме. Исключим из индекса диаграммы число Lln при помощи соотношения L = Ljn — s + 1 ив результате получим, что
Отсюда видно, что диаграммы с любым числом петель расходятся, причём степень расходимости растёт с ростом числа петель и не зависит от числа внешних линий диаграммы.
Рассмотрим расходимости в диаграммной технике, сформулированной согласно (27.39 - 27.41), когда квантовые флуктуации изучаются на фоне внешнего классического поля. В этом формализме в амплитуде перехода имеются лишь диаграммы без внешних линий. Заметим, что в диаграммной технике в импульсном представлении используются Фурье-образы полей Ф (к) = f d4x(expikx) Ф (х). Расходящиеся части диаграмм пропорциональны величинам Ф (0),
Согласно (27.150) индекс однопетлевой диаграммы равен четырём. Однако если из расходящейся части диаграммы выделить, например, множитель
то степень расходимости уменьшается до логарифмической. Именно поэтому в пункте 27.6 был найден контрчлен в логарифмическом приближении. Если бы мы выделили из однопетлевой диаграммы множитель вида R (0), то он имел бы в качестве сомножителя расходящийся интеграл со степенью расходимости 2. Действительно, если выражение (27.151) имеет нулевую размерность и в петле имеет в качестве сомножителя логарифмически расходящийся интеграл, то величина R (0) имеет размерность 2 и потому в этой же петле умножается на квадратично расходящийся интеграл. Эта расходящаяся часть однопетлевой диаграммы даёт вклад в эффективное действие вида
= (п-2)Ь + 2.
(27.150)
/d4k^(k)F(-k) и т.д.
/ к {~к) = / ^xr2W - (27-ш)
(27.152)
329 Везде Сі - числа порядка единицы. В методе размерной регуляризации вклады вида (27.152) автоматически устраняются. Однако имеет смысл сохранить петлевые вклады вида (27.152), если используются другие методы регуляризации.
