Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ln = E = E ¦ (29-32)
т т
Далее мы по возможности не выписываем для операторов, снабженных чертой, те соотношения, которые в точности копируют соотношения для операторов без черты. По определению в (29.32) операция упорядочения означает, что либо элементы а(+) расположены левее всех операторов либо - наоборот. Оба эти порядка эквивалентны (подробнее см. [53]).
Совершим каноническое преобразование вида
a-tUMCtUlf, a -±UM aUh , х -+UmxUIi , (гМ2х+
Um = ехр
2 р+
При этом каноническом преобразовании изменяются лишь переменные Qfg ' и согласно формулам
= Um U1m = - ,
x. = Umx- Ul = + M2 . (29.33)
P+
361 Для однообразия обозначений введем в этом пункте обозначения Q^"' = Ctm^ при тф 0.
Ниже вместо операторов (29.32) мы используем операторы
L* = -\ Ea"-"5"5- (29-34)
m
Причина этой замены станет ясной в следующих пунктах.
Определим векторное пространство состояний, в котором действуют динамические переменные системы как линейные операторы. Представим полное пространство состояний Hcd как тензорное произведение калибровочного пространства состояний Hg и физического пространства состояний Hpo'
Hcd =Hg ® Hpd ¦ (29.35)
Пространство Hg порождается своим вакуумным вектором | 0; G), который определяется следующими свойствами:
a_m|0;G) = 0, I 0; G) = 0 , m > 0 , (0; G | 0; G) = 1. (29.36)
Базис пространства Hg состоит из векторов вида:
a^...a°...aL,...air|0; G), m,n,l,r> 0. (29.37)
Таким образом, Hg является фоковским пространством с положительно определенным скалярным произведением.
Базис в физическом пространстве состояний Дирака Hpd состоит из двух серий I к)ц , к = (Ar0, к1), и определяется следующими свойствами:
&(-*>\k}D=a{~)\k)D = 0, т = 0,±1,... (29.38)
Соотношение (29.38) с т = 0 переписывается в виде
(РІ + M2) I k)D= 0. (29.39)
Отсюда видно, что множество базисных векторов | к разбивается на две серии векторов | к±)о, каждая из которых параметризуется одним непрерывным вещественным параметром. Например,
P1 \k±)D = ±k\k±)D, p°\k±)D = ±^P + M2\k±)D,
362 -OO < к < +оо . (29.40)
Так как операторы ра - эрмитовы, то скалярные произведения вида
{k±\k'±)D=S{k-k'), (k-\k'+)D=0 (29.41)
самосогласованы.
Условия квантования, аналогичные условиям (29.38), использовались в работах [50, 51, 53] и гораздо раньше Дираком в электродинамике [55].
Замечание. Подчеркнем, что переменные оап, aan, п ф 0, являющиеся линейными операторами в пространстве Hg, не являются, вообще говоря, операторами в пространстве Hpo• Действительно, в результате действия операторов и на векторы | к±}о
получаются векторы, не принадлежащие физическому пространству Hpd. ?
Вследствие (29.32) и (29.38) справедливы равенства:
Ln\p)o =Ln\p)D =0, I p)DeHPD. (29.42)
Таким образом, модель (29.27) проквантована при помощи первого метода.
Теперь проведем квантование этой же модели, используя второй метод.
Предположим, что полное пространство состояний He, в котором действуют исходные переменные, представляется в виде тензорного произведения:
Hc = На® НР. (29.43)
Здесь пространство Hg определено согласно (29.36), (29.37). Пространство Hp имеет базис со свойствами (29.39) - (29.41). Если вектор \р) Є Hp, то вектор Iр) удовлетворяет условиям (29.38) с т = 0.
Обратим внимание на тот факт, что операторы q1 ' и a„ ^ с п ф 0 (или их комбинации) действуют в пространстве Hg, но их действие не определено ни на одном векторе из пространства Hp. Этим пространство Hp отличается от пространства НРв (см. (29.38)). Таким образом, полное пространство состояний (29.43)
363 является тензорным произведением пространств, в которых действуют соответствующие операторы. Очевидно, что пространство (29.43) снабжено положительно определенным скалярным произведением.
Для дальнейших вычислений нам необходимо определить упорядочение операторов. Упорядочение (29.34) эквивалентно упорядочению:
L0 = \ (РІ + M2) - « «0-m - «im "т ) - (29-44)
т>0
которое мы используем далее.
Нам представляется, что в рассматриваемой модели наиболее удобными физическими состояниями, удовлетворяющими условиям (29.28), являются состояния, когерентные по калибровочным степеням свободы. Рассмотрим в пространстве Hg когерентное состояние:
т> 0 ^
+ - (z° m а°т + z1m alm + z°_m a°m + z1m al_m ) 1 I 0; G). (29.45) m J
Здесь zm и zm - комплексные числа. Далее положим z§ = zg и zm = zim. Звездочка сверху означает комплексное сопряжение.
По определению Zm^ = zm ± zm, z^ = zm± zm. Будем обозначать также
?(-) - г(-) = г(-) ЩІ0
'¦т ~ т і 'm ^m > ІНГуі
=(-) _ j-) _ ML
zO - z° J+) ¦
zO
(29.46)
Везде считается, что z? > 0.
Обозначим базисные векторы в пространстве Hp как | zo±)/> ,
Zg = ка. Имеем
pa\z0±)p=±zZ\z0±)p, 4 }= 0. (29.47)
Последнее равенство в (29.47) есть следствие соотношения (29.38) с m = 0.
364 Пусть наборы комплексных чисел {z, z } удовлетворяют уравнениям (29.47) с верхним знаком и
= LnW = O, п = 0, ±1, ... (29.48)
т
При помощи функций (аналогичные функции для переменных (29.46) не выписаны)
