Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ф = еі5, S{«, Ы = 5о(«) +J ? (28.40)
N
Нетрудно написать уравнение Уилера-ДеВитта для волновой функции (28.40) в новых динамических переменных {а, Дг } и решить его в квазиклассическом приближении для нулевых гармоник (однородных составляющих полей) и в квадратичном приближении для высших (неоднородных) гармоник полей. За подробными вычислениями мы отсылаем читателя к работам [43,49]. Главный результат этих вычислений заключается в том, что Im Sn (а) > 0 в обоих случаях Хартла-Хокинга и Виленкина. Согласно (28.40) это означает устойчивость волновых функций Фу и Фни относительно малых отклонений от минисуперпространственной модели. Действительно, волновая функция (28.40) быстро убывает при возрастании переменных fx неоднородных мод и если для неоднородных мод Jn- 0, то она совпадает либо с функцией Хартла-Хокинга, либо с функцией Виленкина в зависимости от выбранных граничных условий.
351 ГЛАВА IV
НОВЫЕ ПОДХОДЫ К КВАНТОВАНИЮ ГРАВИТАЦИИ
§ 29. Точно решаемый пример:
двумерная квантовая гравитация
29.1. Введение
Как мы видели, квантовая теория гравитации в четырехмерном про-странстве-времени наталкивается на фундаментальные трудности, которые в настоящее время не преодолены. Эти трудности можно условно разделить на концептуальные и вычислительные. Главная концептуальная проблема заключается в том, что гамильтониан является линейной комбинацией связей первого рода. Этот факт делает неясной роль времени в гравитации. Главная вычислительная проблема состоит в неперенормируемости теории гравитации. Указанные трудности тесно переплетены. Например, в зависимости от вычислительной процедуры в алгебре связей может быть или не быть аномального вклада или центрального заряда (см. пункт 23.3). Наличие или отсутствие аномалии в алгебре связей первого рода определяющим образом влияет на процедуру квантования и возникающую в результате физическую картину.
Перечисленные фундаментальные проблемы успешно решаются на относительно простых моделях общековариантных теорий в двумерном пространстве-времени. К таким моделям прежде всего относятся двумерные модели гравитации, как чистой, так и взаимодействующей с веществом и двумерные модели струны (см., например, [50-54] и ссылки там) 2.
Здесь мы проводим каноническое квантование двумерной гравитации, минимально связанной с вещественным скалярным и спинор-ным майорановским полями. Все построения и вычисления проводятся до получения конечного результата. Полностью описаны физические состояния теории. Полное пространство состояний оказывается подобным по своим свойствам многомерному фоковскому
2 Обратим внимание читателя также на традиционный подход к квантованию двумерной гравитации, при котором конформная аномалия накладывает серьезные ограничения на число включенных в теорию полей [66 - 69].
352 пространству, в котором действуют бозонные и фермионные операторы. Вычислены средние значения метрического тензора относительно состояний, близких к основному. Эти результаты излагаются по материалам работы [54].
Прогресс, достигнутый при построении двумерной квантовой теории гравитации, основан на двух идеях. Эти идеи будут сформулированы ниже после введения необходимых обозначений.
Будем предполагать, что пространство-время топологически эквивалентно двумерному цилиндру. Временная координата t изменяется от минус до плюс бесконечности, а пространственная координата (7 - от 0 до 2ж. Все рассматриваемые функции периодичны относительно координаты а. Набор координат (t, сг) обозначается также {x?}. Метрический тензор в пространстве-времени обозначается g^v, так что квадрат интервала записывается в виде
ds2 = д00 dt2 + дії da2 + 2g0i dt da. (29-1)
Далее метрический тензор параметризуется следующим образом:
g?V = е2» ( - Д ) , д = det д,и = -и2 еА" . (29.2)
Пусть г, j = 0, 1 и Tjjj = diag(1, — 1). Введем ортонормирован-ный базис {ef }, так что (ср. с (8.30))
9 ^efevj= Tjij. (29.3)
Для определенности возьмем
eKe-O- (29-4)
Диада {е;} однозначно определяется уравнениями е'^е" = Sv <=>¦ e'?ej = Sj. С учетом (29.4) имеем
'! = (uOep). 4 = ^(7)- (ад
Рассмотрим действие
S = JdtJ j J^fofl- 2А) +
353 + \ <Г d„f d„f + г- Wvll ф j . (29.6)
Здесь G - гравитационная постоянная, Л - космологическая постоянная, R - скалярная кривизна пространства-времени, 77 и /-вещественные скалярные поля, ф - двухкомпонентное спинорное майорановское поле и {7' } - двумерные матрицы Дирака. Далее мы считаем, что
Майорановость спинорного поля в двумерном пространстве означает (ср. с (22.66)), что ф = 7° фг. Верхний индекс t означает транспонирование. В нашем случае имеем
ф= ( ? ) , ф = ф1, X = Xt- (29.8)
Операция ковариантного дифференцирования спинорного поля определена согласно (22.6) и (22.40), причём в последней формуле калибровочное поле следует положить равным нулю. Форма связности CJiji1 однозначно находится из уравнения (9.28а) с нулевой правой частью и в котором ш* = C1ji dx?. Таким образом, находим
w01 = Iu' + и р - - (р + р V + v') 1 dt + - (р + р V + V1) da-. (29.9)
