Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
LU JU
Здесь и далее точка и штрих сверху обозначают частные производные (d/dt) и (д/да) соответственно. При помощи структурного уравнения Картана (9.28Ь) легко устанавливается соотношение
Vc^Rdt Ada = 2du01. (29.10)
Так как поля ф и х в (29.8) вещественны и принадлежат Грассмановой алгебре, то
^)^) = 0, х(*)х(*) = 0. (29.11)
С учетом (29.11) мы можем в (29.6) сделать замену Т>^ф —»• (д/дх11) ф. Поэтому фермионная часть действия пропорциональна выражению
е> {ф ф + {и + V) ф ф' + X X - (« - V) X х'} ¦ (29.12)
354В (29.12) множитель ер может быть поглощен при помощи замены
ф-+е-1>12ф, е~р/2 X-
В силу (29.11) при такой замене в действии не появляются дополнительные производные поля р. Таким образом, лагранжиан рассматриваемой системы имеет вид
? = J da j—^ [u~lTi{p + vp' + v') +
+ rj ^ - (p + V p' + v') - и' - и р j - A U e2p j +
+ ^-[/2 + 2 vff'-(u2-v2)f'2} + Iu
+ 1[ФФ+(и+у)фф' + xx-(u-v)xx']} • (29.13)
Обозначим через Tr4 , жр и ж - поля, канонически сопряженные с полями 77, р и / соответственно. Поля и и V в (29.13) являются лагранжевыми множителями. Стандартным путем получаем гамильтониан системы (29.13):
K = J da (и? + vV), ? = 2ж G тг.тг, + ^-L [_(,/' _ n'pi) + А е2' ] +
-+\(*2 + Г2) + {(-ФФ' + хх'),
V = - (тг„ тц'+ж.р' + тт/'+ 1-фф'+ г-ХХ'^ . (29.14)
Произведем следующую каноническую замену переменных:
Ar°= 'IiJ^k6'"(V chE-47r^ shE)' А г1 Ч T^g е~Р chL-W shL) >
355= '1 = -V^e" chE- (29-15)
Здесь
?(<r)=27rG / dffirv{a).
Jo
Переменные, описывающие материю, остаются без изменений. В новых переменных гамильтониан (29.14) принимает вид
? = \ [-K2 + (r0')2 ) + (тг? + (r1')2 ) ] + I [тг2 + Г + і (-Ф ф' + хх')},
V = -(тго r0' + tt1 г1') - (тг /' + г-ф ф' + %-х х') • (29.16)
До этого момента рассмотрение было классическим. Начинать квантование системы следует с определения одновременных перестановочных соотношений канонически сопряженных переменных. В нашем случае имеем
[г», тгоИ] = И(<т), ttiИ] = [/и, jt(<т')]=і&(*-сг') . (29.17)
Для фермионных степеней свободы имеют место антикоммутационные соотношения:
{ф(ст), ф(а') } = Ы<т), х(т') } = S(<r- Cf) ¦ (29.18)
Все остальные коммутационные или антикоммутационные соотношения фундаментальных полей г", тга , / , тг, ф равны нулю. Легко проверить, что уравнения Гейзенберга і О = [0,71], полученные при помощи коммутационных соотношений (29.17), (29.18), совпадают с уравнениями Лагранжа. Здесь О - любой оператор.
Так как поля и и г; в (29.14) - лагранжевы множители, то величины (29.16) являются связями. В рамках классического рассмотрения эти связи являются связями первого рода. Однако хорошо известно, что при квантовании в рассматриваемой системе может возникнуть аномалия или центральный заряд: алгебра одновременных коммутаторов величин S ті V содержит центральный заряд. Наличие центрального заряда в алгебре связей радикально усложняет проблему квантования. В частности, система (29.16) - (29.18) может оказаться несовместной (см. пункт 23.3).
356В последнее время в ряде работ [50-54] был предложен безаномальный подход к квантованию системы (29.16) - (29.18). В рамках этого подхода в квантовой алгебре величин (29.16) центральный заряд отсутствует. Это означает, что все операторы (29.16) могут трактоваться как связи первого рода в смысле Дирака. Мы применим здесь этот новый подход.
Идея нового подхода к квантованию возникла при изучении модели, описывающей чистую гравитацию. Эта модель получается из модели (29.16) путем вычеркивания вторых слагаемых в правых частях системы (29.16). В [50-54] показано, что в теории чистой гравитации центральный заряд равен нулю, если в полном пространстве состояний скалярное произведение положительно определено. Причина этого явления в том, что при новом подходе процедура упорядочения операторов в величинах ? и V радикально отличается от упорядочения при традиционном квантовании.
Теперь сформулируем положения, на основе которых развивается новый метод квантования.
1) Полное пространство состояний He, в котором действуют фундаментальные операторные поля г" , жа , f , тг , ф, снабжено положительно определенным скалярным произведением. В пространстве Hc индефинитная метрика отсутствует.
Чтобы сформулировать следующее положение, обозначим через L совокупность операторов (29.16) и через ф - совокупность всех материальных полей / , ф. Устраним из операторов L степени свободы, описывающие материальные поля и обозначим совокупность полученных таким образом операторов через Таким образом,
операторы L^ определяют динамику лишь гравитационных степеней свободы и
[Ь(°\ф] = 0. (29.19)
2) В теории (29.16) существует унитарное преобразование U , такое, что
U L^ U^ = L. (29.20)
Вследствие (29.19) и (29.20) поля
Ф = U фи1 (29.21)
коммутируют со всеми операторами L.
Поясним важную роль последнего положения в квантовании рассматриваемой системы. Предположим, что в теории (29.16) найдено
357состояние I 0), которое аннулирует все операторы L^ и все операторы уничтожения полей ф. Согласно вышесказанному это возможно. Тогда состояние U | 0} аннулируется всеми операторами L и всеми операторами уничтожения полей Ф. Физическое пространство состояний, аннулирующих все операторы L, строится из основного состояния U I 0) при помощи операторов рождения полей Ф. Таким образом, полностью решается проблема квантования системы (29.16) - (29.18).