Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(Р-1 AYvp = 2R{xvpf - 2Rvx], (27.132)
и потому
trio P'1 AP-1A = 2 RtivxpRtivxp + 2 Rllpvx R?Xvp + 10 Rtiv Rtiv + R2. Вследствие тождеств Бианки
2RtipvXR'iXvp = RtivxpR^. Таким образом, учитывая также (27.68),(27.69) и (27.129), находим trio P"1 A P'1 А = 20 R2. (27.133)
При помощи (27.132) без труда получаем
trio P-1 A= -6 R. (27.134)
323 С учётом уравнений (27.109) и (27.116) имеем также
Bt P-1B = 2 (Vp Vаф) (Va Vpф).
Последнее выражение под интегралом f' d4x у/—д может быть заменено на
-2 (Vа ф) Vp Va У"Ф = -2 Rltv ф* V = -4 R2.
Мы использовали формулу типа (27.105) и уравнение (27.109). Поэтому
Bt P-1B = -4 R2. Соберём вместе формулы (27.131), (27.133) и т.д.:
tr X2 = ^R2. (27.135)
ou
Теперь мы можем, используя формулы (27.99), а также (27.130) и (27.135), найти однопетлевой контрчлен для эффективного действия (27.115):
A^Cf = -^fl (27-136)
Нам остаётся найти контрчлен, устраняющий расходимость из детерминанта Фаддеева-Попова.
Согласно (26.58) для нахождения детерминанта необходимо вычислить вариации калибровочного условия (27.113) относительно калибровочных преобразований (27.111) - (27.112). При этом следует учесть, что в однопетлевом приближении в искомой вариации опускаются все члены, пропорциональные квантовым полям. Действительно, представим детерминант Фаддеева-Попова в виде интеграла (26.64). Так как поля духов всегда квантовые, то в однопетлевом приближении детерминант Фаддеева-Попова зависит лишь от классических полей. Поэтому с требуемой точностью
Ip SXv = (~д):1/4 W Va Vа + R» - ф^ } ^ =
= (-5)1/4{^VaVa-^}^- (27.137)
Мы воспользовались уравнением (27.109). При помощи уравнения (14.4) находим
Va Vа = О f„ - а™ Г*, ,,6-2 fv ГА, & +
324 + Г Г^ Tl ^ + <Г Tl Txs 6 . (27.138)
Введём величину
Wv = -HxTvpll, (27.139)
в терминах которой правая часть (27.138) переписывается в нужном виде:
+ (VxWv + QaxX^pWv) (27.140)
Здесь так же, как и в (27.122'), ковариантная производная Va действует лишь на первый верхний индекс в величине 'v.
Сопоставляя формулы (27.137) - (27.140) и (26.58), видим, что в нашем случае детерминант Фаддеева-Попова равен
К = V=F
Л {з, Ф } = det /С , Sv ? + 2JV^v ~ + (VxMx+MxMx )v - Rvll
дхх
(27.141)
Здесь была сделана замена (—д)1 ^4 —У \/—д, так как после такой замены в величине tr In К отсутствуют расходимости, пропорциональные ^W(O) (см. текст за формулой (27.125).
Таким образом, необходимо вычислить контрчлен ДCghost Для устранения расходимостей из величины (сравни с (27.64))
ехр tr In 1С. (27.142)
Для этого мы ещё раз воспользуемся формулой (27.99), в которой в качестве X и У берутся соответственно величины
Xp = [ (Va JVx + Л/А -Vа Yli-Rvll]-
- (VxMx +MxMxYli + \RS; = -Rvll + l^RSvti, (y?V Yx = (Kti - К» + MtiMv- Mv Mtl Yx = -RpXliv ¦
Без труда получаем:
tr У^ У»v = -Rlivxp Rlivxp -»¦ -4 Riiv Rliv + R2 = -ZR2,
325 tr X2 = Rliv R^ - IR2 = I Л2. (27.143)
У У
Следует помнить, что теперь операция tr берётся в 4-мерном пространстве и что результат, полученный согласно (27.99), должен быть умножен на (—2). После простых вычислений находим
A Cghost = ^1JR2. (27.144)
Складывая (27.136) и (27.144), получаем контрчлен для устранения расходимостей в однопетлевом приближении в теории гравитации, связанной минимальным образом с одним вещественным скалярным полем:
AC=-JJl^-R2. (27.145)
є 80
Поскольку в рассматриваемой теории R ф 0 даже на массовой поверхности (т.е. при условии выполнения уравнений движения), то формула (27.145) означает, что теория гравитации, минимально связанная с вещественным скалярным полем, неперенормируема уже в однопетлевом приближении.
Все результаты пунктов 27.5 и 27.6 впервые были получены в работах [34, 35], которые стимулировали дальнейшие исследования в этой области. Немедленно было установлено, что перенормируемость в однопетлевом приближении также отсутствует в теории гравитации, минимально связанной с а) комплексным скалярным полем [36]; б) электромагнитным полем [37]; в) дираковским полем [38]. В указанных работах использовалась та же технология, которая изложена в пунктах 27.5 - 27.6. Эти отрицательные результаты в свою очередь стимулировали поиски такой теории гравитации, которая оказалась бы перенормируемой. Вскоре была достигнута первая победа на этом пути - открыта теория супергравитации, в которой, как было вскоре установлено, отсутствуют расходимости в низших петлях.
Обратим внимание на тот факт, что в теории чистой гравитации в однопетлевом приближении расходимости отсутствуют. Этот вывод очевиден без детальных вычислений, поскольку в теории чистой гравитации на массовой поверхности имеют место равенства Rliv = 0, R= 0. Поэтому возможные контрчлены вида Rliu Rfiu и R2 автоматически обращаются в ноль.
326 27.7. О расходимостях в теории гравитации в высших петлях
В последних двух пунктах этого параграфа было продемонстрировано, сколь трудоёмкими являются вычисления в квантовой теории гравитации даже если ставятся очень ограниченные задачи, как выделение ультрафиолетовых расходимостей в однопетлевом приближении. К тому же полученный результат отрицателен: в теории гравитации, вообще говоря, уже в однопетлевом приближении содержатся ультрафиолетовые расходимости, неустранимые при помощи процедуры перенормировки.
