Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
?=2 («?i+«?2) •
Таким образом,
y^tI = T^G + "?2) ¦ (17'23)
Отсюда видно, что плотность энергии плоской гравитационной волны положительна. Мы видим также, что псевдотензор энергии-импульса плоской волны зависит лишь от двух компонент поля h .
Этот факт имеет следующее объяснение. Четыре уравнения (17.13) оставляют независимыми шесть компонент u?l/ из десяти.
Теперь заметим, что
и'"" ^"" + е"(17.24) также удовлетворяют уравнениям (17.13) для любых величин s?.
Можно сделать вывод, что для произвольных значений четырех параметров s? тензоры поляризации U1ftv и Ufiu соответствуют одной и той же физической картине. Именно поэтому из шести независимых компонент, удовлетворяющих (17.13), только 6 — 4=2 компоненты имеют физическое значение. В рассмотренном нами случае, когда = (к, 0,0, —к), четыре компоненты щ, и «22 выражаются через остальные шесть компонент при помощи уравнений (17.19)-(17.21), а для последних преобразование (17.24) означает
«11 = «11 , «12 = «12 I
«із = U13-Sik, U23 = U23-S2 к,
«зз = «зз-2 S3 к, U100 = що + 2 S0 к. (17.25)
Беря
«13 «23 «33 «00
eI — ~Г~ I ?2 — -Г- , S3 = —— , S0 = — -
& & 2 k 2 k мы обращаем в нуль следующие компоненты: «оо, «зз, U23, щ3, U0,. Компоненты Un и U12 вообще не изменяются под действием преобразования (17.24).
123 Произведем поворот в плоскости (12) на угол ф. Матрица иЦ этого поворота имеет компоненты:
Wl=COS<^, U?2 — sin ф , W2 = -Sin ф,
W2 = COS^1 Wq = I1 W| = 1.
Остальные компоненты матрицы равны нулю. Преобразованный тензор поляризации имеет вид U1flv = LVXLVau\a. Отсюда для нужных нам компонент находим '
U1n = COS *2ф ¦ «п — Sin 2ф ¦ «12 , «12 = Sin 20 ¦ Ыц + COS 2ф • «12 .
Из последнего видно, что
u1i. = ехр{±2іф) • ы± , ы± = ыц ± ІЩ2. (17.26)
Тем самым мы можем интерпретировать компоненты ы± как амплитуды волн, имеющих спиральность (проекцию спина на ось "3") ± 2 соответственно. Таким образом, установлено, что гравитационные волны описывают распространение безмассовых частиц со спином 2 и спиралъностъю ±2.
17.3. Излучение гравитационных волн
Пусть движущаяся материя заключена в ограниченной области пространства, размеры которой ~ а. Изучим излучаемое системой гравитационное поле на расстояниях г = |х | >> а. Поскольку |у | ~ а, то |х — У I в (17.10) можно заменить на г — пу, где п = х/г. Так как нас интересует именно поле излучения, то в (17.10) нам следует лишь учесть вклад ~ 0(г-1):
= ~ J d3yS^+nУ, У), (17.27)
где
ф = k? x? = х° — г , к^ = { 1,-п). (17.28)
Мы видим, что на больших расстояниях поле излучения (17.27) ведет себя как плоская волна. С нужной нам точностью 0(г-1) имеем (см. (17.12) и (17.4)):
v(*0> *) = dhflf,°' Х) = {V - 5^Тх}¦ (17'29)
124 Для сокращения записи введено обозначение
AG
j ^yTltv (ф + пу, У). (17.30)
Простые вычисления с использованием (17.29) приводят к формуле
2 [и"> - дф дф 2\дф I ¦ [и-61}
При помощи формул (17.29)-(17.31) и (17.18) принципиально решается проблема излучения гравитационной энергии пространственно ограниченной материальной системой, если задан ее тензор энергии-импульса. Выписанные до сих пор формулы точные, поскольку речь идет об учете излученных гравитационных волн.
Далее мы будем предполагать, что материя движется с малыми скоростями по сравнению со скоростью света. В этом случае эффекты запаздывания дают малые поправки, которые учитываются путем разложения тензора энергии-импульса в (17.30) по пу. Рассмотрим величину
+{ny)w Т°0{ф' y)+l{ny)2w т°°{ф'у}+¦ • •} • (17-32)
Каждое дифференцирование по ф дает множитель с-1. Легко видеть, что первое и второе слагаемые в фигурной скобке в (17.32) дают нулевой вклад в интеграл. Для этого распишем закон сохранения (17.5):
±Т00(ф,у) = -^-Т°Цф,У), (17.33а)
Из уравнений (17.33) вытекает следующее уравнение:
125 Из равенств (17.33а) и (17.33с) видно, что первое и второе слагаемые в (17.32) дают нулевой вклад в интеграл. Поэтому в наинизшем по пу приближении
Ят00 о р
= "V (D3 + S^ D). (17.34)
оф dr с°
Здесь
°ij = ^ J d3 У (W - sij У2) т°°(ф, У) =
= J d3y (3y'V - у2) р(ф, У) (17.35)
- квадрупольный момент материи и
D = ± J d3yy2T00^, У),
так, что Dij + JiJ D = Zc-2 J d3y ¦ tftf T00.
При написании второго равенства (17.35) было учтено, что в нерелятивистском пределе Г00 = с2 р, где р - плотность массы вещества (см. (13.5)). Точка сверху означает частную производную по времени d/dt.
Путем интегрирования по частям устанавливается, что
/ ТЧФ,.у) = \Ia3yyW ^
Пользуясь (17.33), преобразуем правую часть последнего равенства к виду
H
Отсюда (см. (17.30)):
дф 3г с
Наконец,
drij 2 G ...ij .....
— ----g- (JO + S'3 D) • (17.36)
дтоі , «
-дф=-~ I dy
4 G Г
re4 J
LAToUy) + (ny)^_ToUy) +
(17.37)
126 Вследствие (17.33) первое слагаемое в (17.37) не дает вклада в интеграл, а второе слагаемое приводит к ненулевому результату:
Выразим при помощи формул (17.34), (17.36) и (17.38) величину (17.31) через квадрупольный момент вещества и затем согласно (17.18) найдем интересующие нас компоненты псевдотензора энергии-импульса у/^д t0'.
