Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения 18 полей шаЬ в момент времени х° + Sx0 не достаточно шести уравнений (15.6). Мы потребуем, чтобы 12 связей (15.4) сохранялись во времени. Это даст нам недостающие 12 уравнений. Для этого вычислим производную Ojdx0 от уравнений (15.4) и воспользуемся уравнениями (15.5) и еще раз уравнениями (15.4). В результате простого вычисления получаем
< Щ - Rfj еы + Rab еьо = 0. (15.8)
Двенадцать уравнений (15.8) и шесть уравнений (15.6) относительно величин Ujab (все эти уравнения линейны) дают возможность найти все величины Cjab и тем самым найти поля Uab в момент времени X0+ Sx0.
Остается установить, что найденные переменные еа и Uab на гиперплоскости X0 +Jj;0 допустимы, т.е. связи (15.3) и (15.4) остаются в силе. Сохранение связей (15.4) заложено в саму процедуру решения, поскольку сохранение этих связей дает возможность найти Ojab. Сохранение связей (15.3) вытекает из тождества Бианки:
V, ^Gft" - T^ = 0 , которое с учетом уравнений связей (15.3) и движения (15.6) дает
SI ("Ч'"*-5^)=».
К обсужденным здесь уравнениям гравитационных полей следует добавить уравнения движения для полей материи. Мы видим, что в теории гравитации имеет смысл задача Коши. Однако задача Коши здесь содержит произвол: 4 функции eg и 6 функций Wq6, которые выбираются исходя из соображений удобства.
111 § 16. Псевдотензор энергии-импульса
Рассмотрим действие Гильберта (13.20) в форме
= J dAXyf^ggli" Rflv , (16.1)
где тензор Риччи (см. (9.19))
RfLu = д\ Г*„ - Гаа + ГАЛГ^ - Г*„Г?Д . (16.2)
Если связность выразить через метрику согласно (9.38), то действие (16.1) окажется зависящим от вторых производных метрического тензора, что неприемлемо с точки зрения канонического формализма механики. В данном случае эта трудность легко устраняется, т.к. вторые производные входят линейно в действие. Поэтому мы перебросим производные со связности на остальные множители. В результате получим с точностью до поверхностного члена, который не влияет на уравнения движения, следующее выражение для действия гравитационного поля:
Sg = JJ I + (16.3)
Здесь AS - та часть действия, которая зависит квадратично от связности, но не зависит от производных метрического тензора непосредственно. Здесь и далее мы пользуемся общепринятым обозначением частной производной по координатам хх для любого набора полей Qn :
д д2 Qn= д^ Qn ' Qn= д^ Qn
и т.д.
Таким образом, действие (16.3) зависит от связности Txv (но не от ее производных), от метрического тензора g?v и его производных первого порядка g?V,x- Связность в (16.3) можно считать независимой переменной.
Проварьируем связность Txv и вычислим соответствующую вариацию действия (16.3). При помощи (16.1-2), (9.26) и (9.38') находим
SrS° = T^G j dix^STЇЛ^К-бїд^Т^+д^Т^+д^}.
(16.4)
112 Очевидно, что если положить кручение равным нулю и связность выразить согласно (9.38), то вариация (16.4) обращается в нуль. Наоборот, если потребовать обращения в нуль вариации (16.4) относительно любых вариаций коэффициентов связности, то мы вернемся к выражению (9.38) для коэффициентов связности. Действительно,
S F?i* = <5 + <5 ,
= STxs^vfl , S Txa^ftl, = -SFxa^ft,
причем в (16.5) оба слагаемых являются независимыми приравняем нулю коэффициент при STxa^lf в (16.4):
g"S TZx - gvS TfA - Svx д°» Txx + 6» д™ ТЛ = 0 . (16.6)
Сворачивая последнее уравнение по паре индексов, получаем Txx = = 0. Поэтому из уравнения (16.6) вытекает, что
(ціу\) = g?S Т*х - gvS X^a = 0 ,
а также
(/«/Л) + (уЩ + (Xfiiy) = Igvp TpX? = 0 .
Таким образом, из равенства нулю вариации (16.4) следует равенство нулю тензора кручения, а также ковариантной производной метрического тензора и тем самым справедливость уравнения (9.38).
Заметим, что если бы часть действия, описывающая материю, содержала коэффициенты связности, то равенство нулю вариации полного действия относительно вариации коэффициентов связности привело бы к уравнению вида (16.6) с отличной от нуля правой частью, пропорциональной полям материи. Таким образом, материя, вообще говоря, индуцирует не только тензор кривизны, но и тензор кручения (см. § 30). Тем не менее, как было показано, при наличии лишь заряженных скалярных полей, взаимодействующих с электромагнитным полем, тензор кручения не появляется.
Из сказанного следует, что при рассмотрении различных вариаций в действии (16.3) связность можно считать постоянной, поскольку вариация действия относительно связности тождественно равна нулю.
(16.5) . Сначала
113 Формула (16.3) дает выражение для лагранжиана гравитационного поля:
с=ж - ^t^ ^зП.х + Д?•
AC зависит квадратично от связности и не зависит от g?v,x-Введем в рассмотрение величину
(16.7)
V1Hl =
дС
дд\о.
sfatrlu - КС.
(16.8)
Имеем
Но
=Gsb
дс
дс \ г
ffXa.? t л i sact, ui/ — и
\дд att1i '
дс
дс
- KdgxJ 9x^ + Ua, J 9xu^ + WiJ '
Здесь последнее слагаемое равно нулю в силу (16.5). Поэтому
дС \ ( дс
(V=^)1*
dgxo,v J „ \dgxo
QXo1H •
(16.9)
