Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= ^ +га l^n = 0' (14'5)
Левая часть последнего уравнения совпадает с (9.41), где вместо поля ф подставлена координата хх .
Теперь проясняется смысл термина "гармонические координаты" : гармонические координаты х' удовлетворяют уравнению д'Аламбера (14.5).
Пусть xfi - гармонические координаты, т.е. условие (14.1) выполнено. Согласно (14.4) это означает выполнение условий
Au/=^) = 0. (14.6)
Если х' - другие гармонические координаты, то согласно (14.5) они удовлетворяют уравнениям
д2хх>
" А = Q. (14.7)
Очевидно, что в пространстве Минковского обычные ортогональные координаты являются гармоническими, поскольку Qiiv = diag(l, —1, — 1,-1) и g = —1. Тем самым условия (14.6) выполняются тривиально.
В некоем смысле гармонические координаты в кривом пространстве максимально близки (в конечном участке пространства, в отличие от бесконечно малого участка пространства, рассмотренного в § 10) к ортогональным координатам в пространстве Минковского. Однако, хотя условия (14.1) накладывают некоторые ограничения на координаты, эти условия не фиксируют координаты однозначно. Это видно уже на примере пространства Минковского. Действительно, если добавить к гармоническим координатам любые решения уравнения д'Аламбера (14.7), то новые координаты останутся
108 гармоническими. Известно, что уравнение д'Аламбера имеет бесконечно много решений, которые легко описываются в пространстве Минковского. Ситуация опять аналогична ситуации в электродинамике. Фиксация калибровки условием OflAft = 0 неоднозначна, поскольку потенциал A'? = Aft + Bfi /, О / = 0 также удовлетворяет условию Bfi Alft = 0.
В заключение отметим, что условие (14.5) не является тензорным. т.к. координаты не являются скалярными величинами. Условия гармоничности отбирают некий класс координат, которые особенно полезны при изучении гравитационных волн.
§ 15. Задача Коши
В этом параграфе в качестве независимых переменных берутся тетрада е°(х) и связность ui°b(х). Эти переменные подчиняются уравнениям (13.11), в которых тензор кривизны выражен через связность согласно (9.286), и уравнениям (13.25).
Мы хотим изучить следующую задачу. Предположим, что на "гиперповерхности" х° = const заданы поля тетрады и связности. Можно ли найти эти поля на "гиперповерхности" х° + S ж0, используя уравнения (13.11) и (13.25) и заданные начальные условия при X0 = const? Эта задача называется задачей Коши.
Заметим, что тождество Бианки (9.31) или (13.9) вытекает непосредственно из определения тензора кривизны (9.286). Поэтому тождество (13.6) для тензора (13.10) имеет место всегда независимо от выполнения уравнений (13.11) и (13.25). Распишем тождество
Точка сверху означает производную d/dxQ. Согласно общим формулам пересчета связности (8.5) и с учетом (8.35) имеем
Так как тензор Gttv содержит величину Cjf в степени не выше первой, то с учетом (15.2) можно утверждать, что правая часть
(13.6):
Gft0 = - A Gtti - Tvv Gay - Tvv Gfta .
(15.1)
(15.2)
109 равенства (15.1) содержит uif в степени не выше первой. Следовательно, величина C0 вовсе не зависит от Uifb
г
В уравнениях (13.11) и (13.25) не содержатся eg и u>f. Поэтому поля eg (ж) и Wg6 (х) не являются динамическими переменными, они являются произвольными функциями, смысл которых выяснится ниже. Таким образом, динамическими переменными являются поля ef(x) и uif(x), І= 1,2,3.
Выше было показано, что компоненты C0 не зависят от uif. Из определения тензора Gtiv (13.10) видно, что он не зависит от . Поскольку компоненты Gfl0 не зависят от производных д/дх° от каких-либо полей, то эти компоненты не могут зависеть также и от полей UtQh(х). В противном случае была бы нарушена общая ковариантность теории. Далее из (13.7) видно, что действие Sg зависит от eg линейно, и потому из (13.33) следует, что C0 не зависит от eg. Поэтому уравнения (см. (13.11))
Л"о-Ь"оЛ-^Г"о = 0 (15.3)
L С
не содержат полей eg, uif, ef, Uifb. Четыре уравнения (15.3) являются связями между переменными ef и Uifb на гиперповерхности х° = const. Очевидно, что 12 из 24-х уравнений (13.25) также являются связями:
di е° + ojf ebj - dj ef - Uif еы = 0. (15.4)
Уравнениями движения являются уравнения
ё° =-Ojfebi+die"+Wfeb 0, (15.5)
Rij _ I gu R _ Hi? ті = о. (15.6)
Пусть на гиперповерхности х° = const заданы переменные ef и Uifb1 удовлетворяющие условиям (15.3) и (15.4). Такие переменные будем называть допустимыми. Тогда при помощи уравнения (15.5) можно найти переменные ef в момент времени х° +J X0. Из этого же уравнения виден смысл полей uif и eg, которые произвольны. Поля Utf генерируют локальные преобразования Лоренца ОНБ {еа}, а поля eg производят общее преобразование локальных координат. Действительно, изменение метрики gij = efeaj за
110 бесконечно малый промежуток времени Sx0 согласно (15.5) равно (сравни с (12.14))
J gij =Sx0 {дів% ¦ eaj + eai ¦ Ojea0 + wf eboeaj + шаЬ eboeai } =
= diij + djii-Sx0 ea0 {(diea+ujf ebj ) + (djea+uab ebi)} = V.-fc+V^ .
(15.7)
Здесь = egeai Sx0. При переходе к последнему равенству мы учли тетрадный постулат (8.39).
