Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение в квадратной скобке есть вариация действия Sg относительно вариации тензора gxoj умноженная на (—с). Поэтому в силу уравнения (13.30) выражение в квадратной скобке в (16.9) равно
[••¦] = V=~9 (Vct-^act д) =-\у/Чтх°. (16.10)
Последнее равенство является уравнением Эйнштейна (13.10). Комбинируя (16.9) и (16.10), получаем
(V=Hl)iv+ ^V=ITxvgxvilt = O.
(i6.li)
Но согласно (9.42) и (12.17)
^ V=ITxv9xvilt = (V=IT^h
114 и уравнение (16.11) принимает вид
= 0. • (16.12)
Подчеркнем, что при выводе этих уравнений использовались уравнения движения.
Поскольку Tftv является тензором энергии-импульса материи, то Ittv естественно считать тензором энергии-импульса гравитационного поля. Таким образом, уравнение (16.12) выражает закон сохранения полных энергии и импульса материи и гравитационного поля. Однако компоненты f" не образуют тензора (см. ниже). Поэтому W называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.
Рассмотрим дифференциальную форму
OJft = ^ V4е.Хра (^ + т;) dxx Л dx" Л dx° . (16.13)
Вследствие (16.12) (сравни с (9.43))
(L)fl= 0. (16.14)
Это означает, что 4-импульс
р,= f (t;+Tt)ds„, Jy
dS„ = SuXp^dxx Adxp Adxa (16.15)
сохраняется в силу уравнений движения (сравни с (9.45), (9.46) и далее). Здесь ^ ~ некая 3-мерная гиперповерхность, например, X0 = const. В последнем случае
Рм(х0) = J (tl + ТЦ) Vz^gdx1 dx2dx3. (16.16)
Более того, интегралы (16.15) или (16.16) не зависят от выбора локальных координат, так как можно, не изменяя координат в один момент времени, изменить их в другой момент времени. Но 4-импульс как сохраняющаяся величина один и тот же во все моменты времени.
115 Здесь следует сделать оговорку, что 4-импульс (16.15) сохраняется в том случае, если на пространственной бесконечности отсутствует поток 4-импульса через поверхность, ограничивающую объём. Это условие не всегда выполняется для конкретной системы. В случае, когда пространство не имеет границы (например, гиперповерхность X0 = const является сферой S3 ), это условие выполнено.
Формулу (16.8) можно переписать в виде
v4t^ = (щЬ) Qw-^c' (16Л7)
где Qm , m = 1, ..., 10 - любые 10 независимых функций десяти величин д\а.
Действительно,
т.е.
Далее
BQ TTilP _ f OQm Л Qg ^ч
dg\a,u ~ \dg\a J р'
ВС _ ( dC \ dQmiP _ ( дС \ (dQn
дд\а ,1/ \dQ 1 ддха ,і/ \0Qm,v J \дд х-
При переходе к последнем" равенству мы воспользовались равенством (16.18). Теперь имеем
эс \ _ ( дс \ (dQm\ _ ( де \
gAtT,д — I )IQ І — I I Чт,ц ,
^dg Xa ,1/ / V OQjjiiI/ J IKdgxJm KdQ
что и требовалось.
Возьмем в качестве величин Qm величины х/~д дХ° и воспользуемся формулами (16.7) и (16.17). Напомним, что дифференцировать С относительно связности излишне вследствие (16.5). Кроме того, AC не зависит от Qm,ц- Поэтому без труда получаем
v^tI = A(rL - ^ r^ с. (16.19)
Из последней формулы очевиден нетензорный характер псевдотензора энергии-импульса. Действительно, согласно § 10 в любой точке
116 величины могут быть сделаны равными нулю за счет выбора
системы координат. Согласно (16.19) и (16.7) в этой точке псевдотензор энергии-импульса также обращается в нуль. Это означает также, что гравитационная энергия не может быть локализована.
Псевдотензор энергии-импульса определен неоднозначно. Всегда к V л/—5 можно прибавить член вида rfx где rfx = —rfo. Новый псевдотензор по-прежнему будет удовлетворять закону сохранения (16.12).
117 ГЛАВА II
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§17. Гравитационное излучение
17.1. Слабое гравитационное поле
Случай слабого гравитационного поля означает, что метрика мало отличается от псевдоевклидовой, а связность и кривизна малы по абсолютной величине. На математическом языке это значит, что
9цЛх) - VfLv+h?v{x), \h?v\«l, Tjttv = diag(l,-l,-1,-1). (17.1)
Выпишем связность и кривизну в первом порядке по h?V. Согласно (9.38) и (9.19)
Kx = \ vT {дх /W + ди hxa - дс M , (17.2)
R^W = ^2 V - (д»дх К + dvdx hl) + d?dv hxx},
д2 = if OflOv. (17.3)
В этом параграфе индексы величин, пропорциональных Iitiv, поднимаются и опускаются при помощи величины Tjfiv. Например, К =V?X hxv-
Мы будем искать решение линеаризованного уравнения Эйнштейна в форме (13.13):
87г G 1
RplS = Spv ; Sflv = Tfiv — — Tjfiv Tx . (17-4)
Заметим, что для малости гравитационного поля тензор энергии-импульса материи также должен быть малым. Поэтому при определении Stiv в (17.4) используется Tjflv. Учет Iiflv дал бы дополнительную малость. Уравнения (12.17) и (13.6) для величины (13.10) теперь принимают вид
BtlTP=Q, OflGt = 0. (17.5)
118 Уравнения (17.5) эквивалентны уравнениям
d,S?-l-8vSxx = 0, d?R»-l-dvR = 0. (17.6)
При замене координат x'? = x? + ?? , e? —>¦ 0 метрика изменяется согласно (12.14):
^Зри = ~(d?ev + dv??) = Jh?V .
Непосредственно проверяется, что для тензора (17.3) справедливо тождество R?v(h) = R?V(h + Sh) для любых ??(x). Это свойство называется свойством калибровочной инвариантности уравнений (17.4).
