Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь прецессию гироскопа, покоящегося в поле вращающегося тела. Массу тела будем считать относительно малой, так что формула (17.10) справедлива везде. Кроме того, предположим, что задача стационарная и нерелятивистская. Стационарность означает, что тензор энергии-импульса материи не зависит от времени.
При сделанных предположениях можно ограничиться точностью O(?), где ? = v/c, V - характерная скорость материи. Для тензора энергии-импульса материи согласно (12.5) имеем в указанном приближении:
(20.6)
T00 = PC2, T0i = Pcvi, Tij=O.
(20.7)
146 Опускание и поднимание индексов производится так же, как в пространстве Минковского. Вследствие стационарности уравнение (17.5) дает
OiToi = 0, (20.8)
откуда
J d3x XiXj дкт0к = - J d3x( XiT0j + XjToi ) = 0. (20.9) Обозначим через
CM1i = Eijk j d3x XjTok (20.10)
компоненты 3-вектора момента импульса вращающегося тела. Из сравнения (20.9) и (20.10) вытекает, что
/
d3x XjToh = ^eijk M1i. (20.11)
Из (17.4), (17.10) и (20.7) следует, что h00 = hn = h22 = h33. Сопоставляя также (17.1) и (11.10), находим
д00 = l + Ц-, яц = - ( 1 - SiJ ¦ (20Л2)
Компоненты goi вычислим на большом расстоянии от вращающегося тела, когда можно считать, что
1 1 +?. (20.13)
Ix-JrI
В рассматриваемой задаче имеется аксиальная симметрия вокруг оси с направляющей (20.10), и начало координат расположено на этой оси. Поэтому в (17.10) / d3yT0' = 0 и первое слагаемое в (20.13) не дает вклада в /іо,\ Второе слагаемое в (20.13) при подстановке в (17.10) с учетом (20.11) приводит к следующему результату:
= (20.14)
Замечание. Формула (20.14) получена в приближении слабого гравитационного поля. Однако формула (20.14) сохраняет свою
147 силу также для тел любой массы, когда | Є | С I. В этом случае М! в (20.14) обозначает полный момент импульса тела, включая момент импульса гравитационного поля, создаваемого телом. В этих лекциях момент импульса для произвольных голсй не определяется, поскольку такое определение потребовало бы введения симметричного псевдотензора энергии-импульса. Ввиду громоздкости симметричного псевдотензора энергии-импульса этот вопрос нами опущен. Достаточно полное изложение этого вопроса содержится в [4].
Подставляя (20.14) в (20.6), находим частоту прецессии гироскопа в поле вращающегося тела:
им, = [3 (M' п) Ii-M'], п=-. (20.15) с г г
Прецессия, описываемая формулой (20.15), носит ігазвание эффекта Лензе-Тирринга.
На полюсах п = ±М.'/М', и потому u»- = j 'Л .'/c2r3 ) A4'. Это означает, что вращающееся тело увлекает гироскоп.
Очевидно, формула (20.15) качественно верна также для значений г ~ а, где а - характерные размеры тела. Имеем оценку M1 ~ M г'2 где M - масса тела, г - его радиус, а О, -частота его вращения. Тогда
^ (20.1б)
C^r0 г
Если считать, что оценка (20.16) применима также и для случая сильных полей, когда г ~ г9, то из нее следует, что вращающееся тело полностью увлекает гироскоп, поскольку
20.3. Прецессия оси движущегося гироскопа
Вычислим, наконец, прецессию гироскопа, связанную с его движением в пространстве. Начнем вычисления с учета чисто кинематического вклада - прецессии Томаса. Для учета этого эффекта вполне достаточно изучить ситуацию в плоском пространстве Минковского. Пусть гироскоп или спин движется со скоростью ? = V /с и ускорением ? = d?/dt в некой инерциальной системе отсчета К.
148 Обозначим через К' такую инерциальную систему отсчета, которая движется относительно системы К со скоростью ? и оси которой ориентированы так, что скорость системы К относительно системы К' есть (—?). Будем считать по определению, что пространственные оси указанных инерциальных систем отсчета ориентированы одинаково. Очевидно, в момент времени t спин покоится относительно системы К'. Предположим, что на спин не действуют никакие силы. Тогда спин прецессирует в системе K1 с угловой скоростью:
йф 72 d? л 1 , = 7 = (20Л7)
В (20.17) dф - угловое изменение направления ориентации спина в системе K1 за промежуток времени dt, вычисленный в системе К. Мы не будем здесь подробно выводить формулу (20.17), указав лишь один из путей, приводящих к ней.
Чтобы скорее прийти к цели, рассмотрим частный случай ? = — {?x, ?y, 0) • Кроме систем отсчета К и K1, рассмотрим еще две инерциальные системы отсчета Q' и Q". Система Q' движется относительно системы К со скоростью ?' = (?x, 0, 0), и пространственные оси систем К и Q' ориентированы одинаково. Система Q" движется относительно системы Q' со скоростью
?"= I 0, , 0 ) ,
и пространственные оси систем Q' и Q" также ориентированы одинаково. При помощи закона сложения скоростей проверяется, что система Q" движется относительно системы К со скоростью ?. Это означает, что системы отсчета К' и Q" покоятся относительно друг друга. Нетрудно выразить пространственные координаты системы Q", обозначаемые (х", у", z"), через пространственные координаты (x\,yi,Zi) системы К':
х" = Xi cos в — J/1 sin в , у" = Xi sin в + уі cos в , z" = Z ,
