Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В результате находим для потока энергии, уносимой гравитаци-онными волнами в элемент телесного угла do в единицу времени, следующее выражение:
dl = c{t0i Ui) г2 do = = 36? {і-+ 5(o")2} • (17'39)
Для того чтобы вычислить энергию /, уносимую гравитационными волнами по всем направлениям в единицу времени, следует проинтегрировать выражение (17.39) по всем телесным углам. Поскольку квадрупольный момент не зависит от вектора п, то интегрирование (17.39) по углам сводится к умножению этого выражения на 47г и замене в нем
nlnj I Slj , nVnV -L [5ij5ki + SikSji + SuSjk).
о IO
Таким образом,
Например, для полной интенсивности гравитационного излучения двух тел массы mi и т2, движущихся по круговой орбите радиуса г под действием силы тяготения, легко получить следующую формулу.
/= 32 G4Tnlm22 (m1+m2) 5 с5 г5
Так как излучение гравитационных волн пропорционально G с-5, то этот эффект чрезвычайно мал. В частности, формула (17.41) дает для двух звезд с массами ~ IO33 г (масса Солнца), движущихся
127 по орбите г ~ IO13 см (радиус орбиты Земли), мощность гравитационного излучения ~ IO20 эрг/с. Для сравнения укажем мощность электромагнитного излучения Солнца: ~ 4 • IO33 эрг/с.
17.4. О методике регистрации гравитационных волн
Обозначим координаты (et, х,у, z) и предположим, что плоская гравитационная волна распространяется вдоль оси z и имеет поляризацию (см. (17.25):
u = uxx = -Uyy ф 0 ,
причем все остальные компоненты Ultv = 0. Отсюда согласно (17.14) Tq0 = 0, и потому из уравнения движения свободной нерелятивистской частицы (11.8) находим, что в рассматриваемой гравитационной волне имеется решение:
X = const, у = О, z = O. (17.43)
С другой стороны, пространственная метрика согласно (10.15), (17.1), (17.12) и (17.42) осциллирует:
7п = 1 + «о cos [k(z - et)], 722 = 1 - «о cos [k(z - et)], J33 = 1,
7і2 = 7із = 723 = 0. (17.44)
Пусть жесткий стержень длины L расположен вдоль оси х. Согласно (10.25) и (17.44)
L = j 1 + I U0 cos[k(z- d)]| Ах, (17.45)
где Ax - координатная длина стержня. Так как стержень жесткий, то величина (17.45) стремится остаться постоянной. Вместе с (17.43) это означает, что в гравитационной волне в стержне возникают периодические напряжения, приводящие к колебаниям, период которых равен периоду гравитационной волны. Если частота собственных колебаний стержня равна частоте гравитационной волны, то возникает резонанс и эффект будет легче наблюдаем. Именно такова идея эксперимента Вебера, который был проведен в 60-х годах. Однако достоверных положительных результатов, подтверждающих существование гравитационных волн, до сих пор получено не было.
128 В настоящее время в Европе и США готовятся новые эксперименты по обнаружению гравитационных волн. Точность экспериментов будет иметь порядок I h?L, IO-21. Эти эксперименты исключительно сложны. Для сравнения укажем, что точность первых экспериментов по обнаружению гравитационных волн была примерно на десять порядков ниже.
§ 18. Центрально-симметричное гравитационное поле
18.1. Решение Шварцшильда
Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симметрией. Это означает, что метрика . ds2 инвариантна по отношению к пространственной группе вращений. Если ввести "пространственный" единичный вектор, n = (sin0 cosф, sin0 sin,, cos0), то весь набор пространственных координат будет (г, п), а общий вид метрики
ds2 = h(r, t) dr2 + k{r, t) (dn)2 + l(r, t) dt2 + a(r, t) drdt. (18.1)
Выражение (18.1) остается инвариантным по отношению к ортогональным преобразованиям n = On', (n)2 = (n')2- Форма метрики (18.1) сохраняется при произвольных преобразованиях координат (г, 0: г' = ф(г,і),ї = ф(г,і).
Таким образом, в нашем распоряжении имеются две произвольные функции фиф, подбирая которые, можно добиться равенств a(r, t) = 0 , k(r, t) = -г2. Тогда
ds2 = ev с2 dt2 - г2 (de2 + sin2 в dф2) - еЛ dr2 . (18.2)
Функции V и Л зависят от переменных г, t. Вид метрики (18.2) означает, что длина окружности с центром в начале координат равна 2тгг, где г - радиус окружности. Однако расстояние от центра до точки на окружности равно не г, a J^ dr' ехр | Л(r', t).
В изучаемой нами задаче тензор энергии-импульса материи зависит лишь от переменных (г, t), и скорость направлена по радиусу.
129 Выпишем уравнения Эйнштейна для метрики (18.2). Для этого введем 1-формы и":
1 1 и0 = (ехр - и) dx° , W1 = (ехр - A) dr , u2 = rd9, A Z
wd = г sin в d(f>. (18.3)
Метрика (18.2) представляется в виде ds2 = TiabUaшь (см. (8.40) и (9.29)). Таким образом, 1-формы ша являются формами смещения в некоем ОНБ. Выпишем внешний дифференциал форм и>а :
duj° = --V1e-xZ2LJ0 Aui1 2
du,1 =1-\е-»12Л Auj1,
du2 = -е-х!2ш1Аи2, du,3 = Ie-VVAw3+- Ctgflw2Aw3. (18.4) г г г
Штрих и точка вверху означают частные производные д/дг и д/дх° соответственно.
Отсюда находим коэффициенты Ca,ьс, через которые выражается связность согласно (9.48). Везде далее мы выписываем лишь ненулевые компоненты различных величин:
С,
