Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с Jp
конечен, поскольку при г 4 0 интеграл (18.37) имеет согласно (18.28) интегрируемую особенность вида
Г dr
J .Ф'
Из (18.37) следует, что частица, движущаяся по радиусу по направлению к черной дыре, пересекает сферу Шварцшильда и достигает нулевого радиуса за конечное собственное время.
138 Из соотношения (18.31) видно, что в координатах Крускала любая геодезическая либо продолжается до бесконечности, либо обрывается на истинной сингулярности г = 0.
Из приведенного рассмотрения ясно, что указанные выше области пространства-времени f/+ и U- причинно не связаны,
18.3. О возможности возникновения черных дыр в результате эволюции
Коротко обсудим вопрос о возможности возникновения черных дыр в результате неограниченного сжатия звезд под действием гравитационных сил.
Рассмотрим нейтронную звезду. Совокупность нейтронов, из которых состоит звезда, можно считать вырожденным фермионным газом. Пусть N - число нейтронов в звезде, V ~ R3 - ее объем, R - радиус звезды, m - масса нейтрона и M = Nm - масса звезды.
Все термодинамические соотношения, относящиеся к нерелятивистскому и релятивистскому вырожденному ферми-газу, можно найти в [14].
Вначале рассмотрим нерелятивистский случай. Давление в ферми газе имеет порядок
h2 /N\5/3 h2 M5/3
" ~ m Ы = ^ ^iT * (18'38)
Давление (18.38) стремится растолкать нейтроны. С другой стороны, гравитационное давление, которое стремится сжать звезду, имеет порядок
gm2 мячої
Рграв--• (18.39)
Из условия равновесия нейтронной звезды Pf = Рграв находится ее радиус в положении равновесия Rq:
До =Const G J23mu3- (18.40)
Здесь const - число порядка единицы. Из оценок (18.38) и (18.39) видно, что положение равновесия (18.40) является устойчивым. Действительно, при возрастании радиуса звезды расталкивающее давление Pf убывает быстрее, чем сжимающее давление рграв. Поэтому
139 звезда вернется в положение равновесия. При уменьшении радиуса будем иметь аналогичную картину.
Из (18.40) видно, что при возрастании массы звезды M радиус Ro уменьшается. При этом энергия Ферми єр возрастает. Следовательно, при возрастании массы звезды фермионный газ станет релятивистским. Оценим массу, при которой нейтронный ферми-газ становится релятивистским. Имеем
h2 fN\2/3
?F--ГБз > т с ¦
т \R30J
Подставим в это неравенство оценку (18.40). В результате получим
Таким образом, если нейтронная звезда имеет массу большую, чем масса Солнца, то составляющие ее нейтроны должны рассматриваться как вырожденный релятивистский ферми-газ. В релятивистском случае
/М\4/3 1
"-ftcU) (18-41>
Теперь гравитационная масса имеет порядок не mN, а
Подставляя в (18.39) Мграв из (18.42), находим оценку GM2 ,/М\8/3
Рграв 1
R4 \ т J R6'
^-Gft2C2 ^ -L. (18.43)
Сравнение формул (18.41) и (18.43) показывает, что в релятивистском случае наступает гравитационный коллапс, который невозможно удержать никакими другими взаимодействиями.
Из сказанного можно сделать вывод, что если масса звезды в несколько раз больше массы Солнца, то ее эволюция может закончиться гравитационным коллапсом и образованием черной дыры.
140 §19. Движение
в центрально-симметричном поле
Рассмотрим лагранжиан частицы в форме (11.16) в координатах Шварцшильда (18.17). Заметим, что, так как в центрально-симмет-ричном поле сохраняется момент импульса, движение происходит в одной плоскости, проходящей через центр (см. [10]). Поэтому сразу положим 6 = 7г/2. Тогда
? = ~i{}"V(mc)2' где ^(!-^(iY-jAr-rV.
(19.1)
Условие 8С/8 е = 0 дает
{}х12 = етс. (19.2)
Так как лагранжиан не зависит от переменных X0 и ф, то их "импульсы" являются интегралами движения. Имеем
SH=^ ,19'3)
Величины M и ? имеют смысл момента импульса и энергии частицы, которые сохраняются. Воспользуемся уравнением (19.2) для нахождения величины г. Выражая ф и х° через Л4 и E при помощи соотношений (19.3) и (19.4), получаем
/¦2 , „ ч / ЛЛ2
г2 = е2[ ], [
Из (19.3) и (19.5) находим интегральное соотношение, определяющее траекторию частицы:
/
, M . ._!
dr-jl) ' =
1/2
(19.6)
141 Комбинируя (19.4) и (19.5), получаем зависимость радиуса от вре-
мени:
-1/2
(19.7)
19.1. Движение массивных частиц
Предположим, что частица массивная и ее скорость мала по сравнению со скоростью света, а гравитационное поле мало отклоняется от ньютоновского, что выражается неравенством r/rg << 1. Эта ситуация имеет место при движении планет вокруг Солнца, поскольку гравитационный радиус Солнца rg = 3 км.
Чтобы легче извлечь из интеграла в (19.6) полезную информацию, его следует привести к виду, максимально приближающемуся к аналогичному интегралу в ньютоновской механике. Для этого сделаем замену переменной интегрирования согласно г (г — rg) = (r')2. Теперь член в квадратной скобке в (19.6), пропорциональный M2, принимает вид M2/(r')2. При сделанных предположениях приближенно имеем
/ 1 гз
(19.8)
С точностью до 0(г2) квадратная скобка в (19.6), выраженная через г', имеет вид
