Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Одновременно нами доказана следующая формула для вариации действия Гильберта (13.20) относительно метрики:
SSg = J d [EabcdOJc Au>d ASwab)+
/ d4xV=g(Rtly-Ig^R)Sgiiv. (із.зо)
104 Действительно, было показано, что если кручение равно нулю, то действие (13.21) совпадает с действием Гильберта. Поэтому прова-рьируем действие (13.21), считая связность выраженной через метрику (или тетраду) согласно уравнению (13.25). Тогда второе слагаемое в (13.23) автоматически равняется нулю, а оставшиеся два слагаемых приводят (с учетом формул (13.26)) к равенству (13.30).
В настоящее время согласие ОТО с опытом установлено приблизительно с точностью от 1% до 20 % в зависимости от вида эксперимента. Однако экспериментальных данных мало.
13.3. Возможны ли другие варианты теории?
Теория должна быть безмассовой из-за дальнодействия. Действительно, массивное поле в релятивистской механике удовлетворяет уравнению вида
( + ^ = 0-V дх» дх" J
Если имеется статический точечный источник в начале координат, то последнее уравнение принимает вид
(-Д + т2)^ = С<5(3>(х).
Решение этого уравнения имеет вид ф ~ (г-1) (ехр— гаг), откуда видно, что дальнодействующее поле не может быть массивным.
а) Скалярная теория. Взаимодействие скалярного поля с материей могло бы быть вида
Cint ~ фТ? .
Но след тензора-энергии электромагнитного поля равен нулю. Поэтому оно не взаимодействовало бы с гравитационным полем и не отклонялось в нем. Вообще в ультрарелятивистском случае вследствие уравнения (12.29) отсутствовало бы взаимодействие материи с гравитационным полем. Но это противоречит эксперименту.
б) Векторная теория неудовлетворительна тем, что векторные частицы (фотоны) приводят к притяжению противоположных по знаку частиц (частица -f античастица) и отталкиванию одинаковых частиц.
105 в) Теория типа R2 явно или неявно содержит вторые производные по времени. Такие динамические системы не рассматриваются, поскольку нарушают всю традицию механики.
13.4. Теория гравитации с А-членом
Весьма важным для космологии обобщением уравнения (13.11) является уравнение с так называемым Л-членом:
1 87г G
R?v - -^gfIV R = —Tftv +Ag?V. (13.31)
Здесь Л - некая константа, имеющая размерность кривизны, то есть см-2. Эта константа должна быть весьма малой, чтобы уравнения (13.11) и (13.31) фактически приводили бы к различным следствиям лишь на очень больших космических масштабах. При Л —> О условия а) - г) этого параграфа выполнены.
Уравнение (13.31) рассматривалось еще Эйнштейном. Это уравнение может быть получено из вариационного принципа, если вместо (13.21) использовать следующее выражение для действия гравитационного поля:
S° = ~l^G / + (13-32)
Теперь (13.31) выводится при помощи (13.26) и (13.30) из условия 6{Sg+S)= 0.
§ 14. Гармонические координаты
Будем рассматривать уравнения (13.11) как дифференциальные уравнения второго порядка относительно компонент метрического тензора.
Симметричный тензор в 4-мерном пространстве-времени имеет 10 независимых компонент. Поэтому на первый взгляд может показаться, что уравнений Эйнштейна при заданных граничных условиях может быть достаточно, чтобы определить g?V единственным образом.
Вспомним, однако, что тензор, стоящий в левой части уравнения (13.11), удовлетворяет тождеству (13.6), которое состоит из 4-х дифференциальных уравнений. Из этого тождества следует, что число
106 независимых дифференциальных уравнений среди уравнений Эйнштейна равно 10 — 4 = 6. Отсюда в свою очередь следует, что уравнения (13.11) оставляют неопределенными 4 степени свободы в 10 неизвестных компонентах g?U. Эти степени свободы соответствуют тому, что если - решение уравнений Эйнштейна, то решением его будет также и д1 v, которое получается из g?L, с помощью произвольного преобразования координат х —> х'. Такое преобразование координат вводит четыре произвольные функции х'(х), соответствующие как раз четырем степеням свободы в решении уравнений Эйнштейна.
Недостаточность эйнштейновских уравнений для определения g?lJ единственным образом аналогична недостаточности уравнений Максвелла для однозначного определения вектор-потенциала Ali. Эта неоднозначность используется в каждой конкретной задаче наложением калибровочного условия так, чтобы это облегчало решение задачи.
Аналогично поступают и в общей теории относительности. Из сказанного ясно, что в данном случае следует выбрать некоторую конкретную систему координат. При этом исключается неоднозначность в метрическом тензоре. Особенно удобны при наличии слабых гравитационных полей условия гармоничности координат :
Условие (14.1) всегда возможно. Действительно, согласно (8.34):
шив следующие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных:
(14.1)
(14.3)
Тогда согласно (14.2) ГЛ = 0 в координатах х'.
107 Чтобы выяснить математический смысл уравнения (14.3), используем представление символов Кристоффеля через метрический тензор (9.38), а также формулы, следующие за (9.38):
С учетом (14.4) уравнения (14.3) переписываются в виде
