Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2 о 1
-а+ -/?- —— г (г'у
M2 - - (г,дтп с)2
(19.9)
Здесь а и ? - константы, не зависящие от М. и в случае финитного движения они обе положительны. В квадратной скобке мы пренебрегли величиной (гд?'/с)2 по сравнению с (rgmc) E' - нерелятивистская энергия. Из (19.8) имеем
где
dr =
-Ifr-V
8 Vr'/
dr'.
(19.10)
142 Далее штрих над буквой г опускается. Учет второго слагаемого в квадратной скобке в (19.10) дает вклад в (19.6) порядка
г2 т ?'
Ниже будет видно, что этот вклад в нашем приближении относительно ничтожен. Таким образом, согласно (19.6) и (19.9)
=-JL2 Г
дМ Jr
Аф = ——2 dr{-a+-?
2 „ 1
3
-M2 - 2 (ramc)2
1/2
(19.12)
Здесь Д ф - изменение угла за время одного оборота, который считается совершенным при изменении радиуса от минимального значения rmin до максимального значения rmax и затем опять до Tmm. Значения rm;n и rmax - это те значения переменной г, для которых фигурная скобка в (19.12) обращается в нуль. Интеграл в (19.12) вычисляется точно:
Jrrc
\/(т'тах rj(r rmin) — (''min 4" ^max 2 ^Jrmm Tmax ) Г і
В результате получаем
iL J JL
dM\y? V"' 2
-^HmY-
Отсюда видно, что смещение перигелия орбиты
бтг (гдтс\2 (GMmV ,ЛПЛо\
" = T(jM) ' (1913)
Сравнивая (19.11) и (19.13), находим оценку 6\ф/6ф ~ S'/тс2 « 1. Поэтому формула (19.13) справедлива.
Численные значения смещения, определяемого формулой (19.13), для Меркурия и Земли равны соответственно 43,0" и 3,8" в сто лет.
143 19.2. Движение безмассовых частиц
В случае распространения светового луча в формуле (19.6) следует положить m = 0. Прибегая к тем же манипуляциям, которые привели к (19.12), получаем
/
"Л I dr
дМ
S2 2 ?2r0 1
- -тг M
C2 Г C2 г2
1/2
(19.14)
В отличие от случая массивной частицы, при распространении светового луча релятивистская поправка к его траектории является эффектом первого порядка относительно rg. Разложим правую часть (19.14) по rg/r:
? = -^(/^/1-"8--' * I
с дМ I ./ V г2 а J ,/^r02 \ ?
(19.15)
Интегралы в (19.15) берутся при помощи подстановки г = pch\-При изменении переменной X от —сю до +оо происходит пролет луча света мимо центра. Первый интеграл в (19.15) удобно сначала продифференцировать по M- Путем дальнейшего интегрирования по % в бесконечных пределах получаем = тг. Это соответ-
ствует невозмущенному движению частицы. Второй интеграл дает
Л IrgZ d . RS
А ф^ ' =--— —— arcch —— , R—> оо .
с дМ M с
Вычисляя производную и затем, переходя к пределу, находим
д (1) = 2r> = 4GM
P с P
Остается заметить, что параметр р в (19.16) является прицельным расстоянием, а выражение (19.16) и есть искомое угловое отклонение от прямой линии луча света, пролетающего на прицельном расстоянии р от гравитирующего центра.
Для луча, проходящего мимо края Солнца, S ф =1,75".
144 § 20. Прецессия гироскопа, движущегося в гравитационном поле
20.1. Вращающаяся система координат
Рассмотрим в плоском пространстве Минковского вращающуюся систему координат. Пусть х" - коэффициенты в пространстве Минковского и Xa - координаты во вращающейся системе координат, которая равномерно вращается в плоскости (ж1 , х2 ) вокруг оси X3 с угловой скоростью ui. Имеем:
X3' = X3, X1 = X1 cos Ult + X2 sin Ult ,
X2' = -X1 sinUit + X2 cosuit. (20.1)
Введем обозначения:
р2 = (х1)2 + (х2)2 , v={x\x2,x3),
w = (O1O1w), g=I[u,,r]. (20.2)
Метрика в новых координатах принимает вид ds2 = (dx°')2 — (dxa')2 = {c2-w2p2)dt2-(dxa)2+2c(g dr)dt. (20.3) Отсюда видно, что
Ul2
goo = 1--тгР2 , 9 a? = -ba? , 90a = 9a • (20.4)
c?
При помощи формул (10.3) и (20.4) находим, что длина окружности p = const, z = const равна
/ = , ^p . (20.5)
^-WP2'
Изменение длины окружности во вращающейся системе координат (20.5) объясняется с точки зрения специальной теории относительности. Действительно, уложим вдоль окружности линейки. Вследствие лоренцева сокращения вдоль окружности будет уложено больше линеек, чем в инерциальной системе отсчета. Этим и объясняется
145 увеличение длины окружности. Из (20.3) и (10.1) видно также, что часы в точке р идут медленнее, чем в центре. Это - также эффект частной теории относительности.
Укажем, что координаты ха имеют смысл лишь при р < c/oj. Действительно, из (20.3) видно, что при р > с/ш компоненты метрического тензора дао < 0. Физически это означает, что вращающаяся координатная система не может быть реализована физическими телами при р > с juj, поскольку эти тела должны бы были двигаться со скоростями, большими скорости света (в инерциальной системе отсчета).
20.2. Прецессия покоящегося гироскопа
Рассмотрим гироскоп в кардановом подвесе, ось которого сохраняет ориентацию в инерциальной системе отсчета. Из сказанного следует, что во вращающейся системе отсчета ось гироскопа прецессирует с угловой скоростью:
Формула (20.6) проверяется непосредственно при помощи (20.2).
Формула (20.6) для прецессии оси неподвижного гироскопа в произвольном гравитационном поле остается справедливой. Это утверждение следует из принципа эквивалентности, согласно которому гравитационные поля, созданные материальными телами или существующие вследствие неинерциальности системы отсчета, физически эквивалентны.
