Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(13.16)
Комбинируя уравнения (11.10), (13.14) - (13.16), мы возвращаемся к уравнению (13.1), что и требовалось.
13.2. Вывод Гильберта
Одновременно и независимо от Эйнштейна уравнения (13.11) были получены Гильбертом при помощи принципа наименьшего действия. Мы воспроизводим здесь этот вывод, пользуясь другим формализмом.
Рассмотрим 4-форму:
A=^sabcdRab Auc Aud. (13.17)
Здесь Sabcd - абсолютно антисимметричный тензор, Є0123 = 1, 2-форма кривизны Rab = Rabu dx? A dx" выражается через 1-форму связности Uiab dx? согласно (9.28b) и iua = ea dx?. Таким образом, вычисления идут в ортонормированном базисе. Имеем
Sabed eCxed = (det el) SlluXp Caeb ¦
Из соотношения g?l/ = TJab е^е^ получаем g = (det ^ab)(det е°)2 = = -(det ea)2. Пусть det ea > 0. Тогда det ea = J^g и
Sabcdecxed = EllVXpe^b. (13.18)
Тензор EfluXp определен в (8.45). Форма (13.17) переписывается при помощи (13.18) в виде
Л = I dx? A dx" A dxx A dxp Earxp eaaeTb Rabl,.
Теперь учтем, что (см. (8.35))
< «І К» = rH > dx" Л dx^ л dxX Adxp = dx° Adx1 A dx2 A dx3 • ?>Лр •
г1 —
1 00 —
IJL
2 Bxi
goo ¦
101 Поэтому
Л= і Vc^ dxa Л dx1 Л da;2 Л da;3 ¦ ?^Хр?отХр R% ¦
Но
и окончательно
Л = dV-R, R= Rft,, dV = ^d4x. (13.19)
Согласно Гильберту действие гравитационного поля равно
s9 = -^ J d"x^gR, (13.20)
где скалярная кривизна выражена через метрический тензор при помощи формул (9.19) и (9.38). Таким образом, функционал (13.20) зависит лишь от тензора В подходе, излагаемом нами, действие Гильберта записывается в форме Палатини:
= I I dix^eWK- (13.21)
Важно, что тетрада и связность в (13.21) рассматриваются как независимые переменные. Если же выразить связность при помощи уравнений структуры через тетраду (следовательно, через метрику), то согласно (13.19) действия (13.20) и (13.21) совпадут.
Принцип наименьшего действия гласит, что уравнения движения получаются из условия
J (Ss + 5) = 0. (13.22)
Здесь S - действие материи (см. § 12). В нашем формализме независимо варьируются переменные w°6, Cjl и q. Напомним, что переменные q описывают степени свободы материи. Вычислим вариацию формы (13.17), используя (9.28):
SA = d Q EabcdUc AwdA Swab^j - І Eabcd TcAwdA Swab+
+ І Eabcd RabAwcA Swd . (13.23)
102 Здесь Tc обозначает левую часть уравнения (9.28а). Формула (13.23) без труда выводится в такой точке пространства, в которой Uiab = 0. Согласно § 10, этого можно добиться в любой точке, выбирая соответствующим образом базис. В такой точке имеем
dSwab = -S Rab, йшс = \тс.
Поэтому
7 SabCd SRab A Wc Л UJd = I Sabed Uc A OJd A dSw°b =
4 2
= d (^SabcdWc AOJd ASUJab) - I SabedTc A OJd A SUJab .
Таким образом, первые два слагаемых в (13.23) возникают вследствие вариации связности, последнее слагаемое тривиально получается вследствие вариации тетрады. Формула (13.23) проверена в точке, в которой Uiab = 0. Теперь из факта независимости обеих частей уравнения (13.23) от базиса следует, что уравнение (13.23) справедливо в любой точке.
Приведенное вычисление, использующее возможность обращения связности в нуль в любой точке пространства, характерно для дифференциальной геометрии и теории гравитации. Таким путем можно резко сократить вычисления.
Теперь заметим, что действие материи S, рассмотренное в § 12, не зависит от связности Uab, а зависит лишь от метрического тензора, т.е. от тетрады. Далее вплоть до специальной оговорки мы будем предполагать, что действие материи не зависит от связности. Поэтому часть уравнений в (13.22) получается приравниванием нулю коэффициента при Suiab в (13.23). При этом первое слагаемое в (13.23) можно отбросить, поскольку оно является полной производной. Таким образом,
SpvXpSabcd Txp = 0 ,
или
e{? TvА) - e\? TvX) - 0
(смысл обозначения (fiv Л) см. после (9.30)). После умножения последнего равенства на ех получаем
T;v = (ea?Tbx-eauTbx)exb. (13.24)
103 Теперь умножим равенство (13.24) на что дает Tav eva = 0. Вместе с (13.24) это означает отсутствие кручения. Таким образом, вариация (13.22) относительно связности дает уравнение
d?el - d„el + Ujfebv - Lofebll = 0 , (13.25)
которое имеет единственное решение (9.48) (или (9.38) в базисе д/дх" ).
В результате проведенного этапа вычислений мы вернулись к действию Гильберта (13.20) для гравитационного поля. Однако при вычислении вариации (13.22) относительно тетрады тензор кривизны Rf, следует считать постоянным. С учетом того, что
jV1^ 9^ Sgiiv = Syf^ , Sgilu = Є„Д Seav + eav Sel' 5eb = -ebec5e\>
(13.26)
без труда находим коэффициент в SSg при Seafi:
(13.27)
к &
Вариация действия материи получается из (12.3). Следует лишь сделать подстановку Sgiiv согласно (13.26). В результате коэффициент при Seafl в SS будет равен
--(I4X л/=<ГT^eau. (13.28)
с
Согласно принципу наименьшего действия сумма выражений (13.27) и (13.28) равна нулю, что означает выполнение уравнения
(r^ R^j --Jtl"I eav = 0 , (13.29)
которое вместе с уравнением (13.25) эквивалентно уравнению (13.11).
