Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
является следствием
выбора системы координат. По этой причине целесообразно ввести (и это возможно) более глобальные координаты.
18.2. Координаты Крускала
В 1960 году Крускал ввел наиболее полную систему координат для черной дыры, вся масса которой сосредоточена в одной особой точке 7- = 0 [9]. В координатах Крускала переменные в, ф остаются прежними, а вместо переменных х° = et и г вводятся переменные VHU согласно формулам
1 ) ехр — = и1 - V2 , гя
х° = 2 г a arcth — = г a arcth
2 UV
U2 + V2
(18.26а) (18.266)
134 Здесь T - свободный параметр. Формулы (18.26) легко обращаются. Например, если и > |и| > 0, то
и = T,/- - 1 fexp ch ,
V rs V 2rV 2гз
v = T J—-1 (ехр -^-] sh . (18.27)
V r9 V 2 rj 2 гд У '
Метрика Шварцшильда в переменных Крускала имеет вид
ds2 = ^- fexp--! {dv2 - du2) - г2 Ш2 + sm2 в <1ф2). (18.28) T1 г \ Гд)
Здесь переменная г должна быть выражена через (u2 — v2) при помощи уравнения (18.26а). Эта задача однозначно решается, поскольку правая часть уравнения (18.26а) монотонно растет при г > 0.
Рис. 1
На рис. 1 в плоскости (и, v) изображены (сплошными линиями и пунктиром) кривые, отвечающие постоянным значениям радиуса г. Поскольку г > 0, то из (18.26а) имеем v2 < T2 + и2, Поэтому точки пространства-времени находятся во взаимно однозначном соответствии с точками плоскости (и, и), заключенными между гиперболами:
v = ±\/T2 + u2.
135 Рис. 2
На рис. 2 в этой же плоскости прямые, проходящие через центральную точку (и, v) = (0, 0), отвечают постоянным значениям мирового времени х°. Из рис. 1, 2 видно, что переменные Шварц-шильда при г > гд являются координатами части пространства-времени, заключенной между биссектрисами v = ±и в плоскости (ы, и). Лишь точка (и, v) = (0, 0) отвечает г = гд и конечному времени X0. Все остальные точки v = ±ы отвечают г = гд и х° = ±оо. Из рисунков видно также, что часть пространства, описываемая координатами Шварцшильдас г > га в плоскости (и, v) содержится дважды: и > 0 , |г>| < и и и < 0 , |и| < —и. Обозначим эти области в плоскости (и, v) через {/+ и U- соответственно. Мы видим также, что в области U+ росту мирового времени X0 соответствует рост "времени" v. Так как функции замены координат Шварцшильда на координаты Крускала аналитические, то естественно считать, что все частицы в пространстве-времени движутся в направлении возрастания координаты v.
Рассмотрим движение частиц в переменных Крускала. Лагранжиан, описывающий движение частицы, имеет вид (см. § 19)
С = ~h {9vv ^ ~ - r2 \е (тс)2 '
136 9™ = e~r/rs • (18-29)
Поскольку лагранжиан (18.29) не зависит от ф, то момент
д4 = М = Г-^ (18.30)
дф е
сохраняется. Условия дС/де = 0 и (18.30) дают
J = + — f^ + m2c2 ) . (18.31)
9w V r
Так как лагранжиан (8.29) зависит лишь от г, но не зависит от х°, то сохраняется энергия (сравни с (19.4)):
Здесь при получении второго равенства была использована формула (18.266).
Рассмотрим распространение частиц вдоль радиуса, что отвечает случаю M = 0. Комбинируя уравнения (18.31) и (18.32), получаем соотношение между дифференциалами координат и и v:
откуда
где
dv2-du2=(^) i^-Udv-vdu)2, (18.33) \ ? J 4 г2
du а2 UV ± — а2 (и2 — v2)
dv 1 + a2 V2
(18.34)
Рассмотрим сначала распространение безмассовых частиц вдоль радиуса, что отвечает случаю т = 0 , M = 0. Тогда из (18.31) следует, что
i> = ±u +const. (18.35)
Изображая прямые (18.35) на рис. 1, 2, делаем вывод, что в области пространства-времени v < — |u| движение возможно лишь
137 от центра, когда растет временная координата v. Этот же вывод справедлив и в отношении движения частиц с моментом и с массой, что вытекает из (18.31). Это означает, что координаты Круска-ла покрывают области пространства-времени, в которых движение происходит лишь от центра при г < rg. Эту область пространства-времени можно назвать белой дырой.
Напротив, в области пространства-времени v > | и | при возрастании времени V движение частиц возможно лишь по направлению к центру. Эту область пространства-времени принято называть черной дырой.
Из формулы (18.33) видно, что для массивной частицы равенство I du I = I dv I может иметь место лишь на прямых и = ±v. Рассмотрим уравнение (18.34) вблизи точки и = v > 0. Пусть и = v + e(v), где є —> 0. Выпишем уравнение (18.34) с нижним знаком, разложив его относительно є:
du a?. V2 — I . n 1 (mc2\2 , „,
Tv = t^ri+0{?)' = • (18-36)
Отсюда видно, что при конечных v вблизи прямой и = V > 0 имеются мировые линии частиц, движущихся по геодезическим, которые пересекают прямую и = v под ненулевым углом. С учетом формул (18.33) и (18.35) отсюда следует, что такие геодезические заканчиваются на гиперболе v = л/Т2 + и2, причем вдоль этих геодезических координаты UHV ограничены. Обозначим начальную точку какой-либо из рассмотренных геодезических через р, а конечную - через q. Координата г точки q равна нулю, а точка р лежит в области JJjr. Сказанное означает, что интеграл
1 П
Ar=- ds < оо (18.37)
