Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, общее решение этой задачи получается, если взять любую
систему величин Хк, Рк, которая удовлетворяет условию (1). Этим была
доказана тесная связь между двумя, как казалось, различными задачами. В
настоящей работе при помощи аналитических рассуждений выясняется
внутреннее основание этого тождества. Одновременно ставятся и решаются
аналогичные задачи. В частности, решается следующая новая задача: Задача
III. Определить наиболее общее преобразование, которое заданную систему
вида
а 9 F .. . QF ..
dx* = -^dt' dP* = --wkdt
переводит в подобную же систему.
Показывается, что соответствующие преобразования, которые все могут быть
определены, вообще говоря, не являются касательными преобразованиями.
Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [15°]
§ 1. Серре в своем мемуаре о начале наименьшего действия*) пополнил
теорему Лагранжа, доказав, что вторая вариация от действия есть величина
существенно положительная, и, следовательно, действие имеет наименьшую
величину при действительном движении системы. Но, несмотря на остроумный
анализ знаменитого ученого, его исследование настолько сложно, что не
может быть изложено в курсах механики. Я думаю, что поэтому не будет
лишено интереса простое геометрическое доказательство, с помощью которого
обнаруживается, что действие имеет при действительном движении системы
наименьшую величину, тем более, что это доказательство распространяется и
на принцип Остроградского.
§ 2. Пусть дана система п точек с р условиями в ее первоначальном
положении а, аь..., ап, находящаяся под действием сил, имеющих силовую,
функцию U. Рассмотрим два бесконечно
близких движения этой системы, из которых одно совершается по путям
а/,
tfi/i,• • •, anfn, а, другое - по путям ab,
..., апЬп (см. рисунок). Назовем через Т живую силу системы и напишем
интеграл живых сил :
U-T + h = 0, (1)
где h - постоянное. Действие в движении по траекториям а/, ..., anfn
условимся
обозначать через (а/), так что
(а/) = \2Т dt; (2)
о
t есть время, в которое система переходит из начального положения в
положение fn. Этот интеграл на основании формулы (1) может быть
пред-
ставлен так:
(а/) = J" (U -f- Т + h)dt. (3)
Предположим, что постоянное Л одинаково как для движения по траекториям
а/, а^, ..., anfn, так и для движения по траекториям ab,
*)Serret, Comptes Rendus des Sdances de PAcaddmie des Sciences, т. LXXII,
стр. 696 (1871).
426
Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
ахЬь ..., апЬп, и определим вариацию (аЪ) - (af):
ди . , Эи
бу +
О
1
, С V' (dx dSx
+)Zm{
dz j dt +
dy d8y dz dSz
dT + ЧГ dt ^ Ht dt
J dt.
Интегрируем по частям :
dx ddx . dy ddy dz ddz
dt dt ^ dt dt dt dt
= 1\02т(^{дх+^г^ +
dy
dt
d2 у s . d2 z
dt2 У ^ ~dt2
dt.
Ho
Ю
бх = 0, ( dx
бх = 6
dt
+
dy
dt
+
X - t
< dx
~df
6t,
dz s
-гг = v cos a • ds, dt
где v -
Ьч
скорость точки /, а = ^ bfe, ds = bf ; поэтому
dt dt
¦ +
dt dt
+
dt dt
= J? mv cos a ¦ 6s , Подставляем:
¦)"# =
2T6t- \2m(d'x
dt2
d2y s . d2z -6y +
dt2
df2
ftzj dt.
(ab) - (af) = J>mvcosa-6s + §J> - m -^) бх
+
4
э и
9 у
¦ m
d2y
Э U dz
m-
d2z
j <5zj dt.
dt2 J ~7 1 I 9z Л2
Здесь подынтегральная величина обращается в нуль на основании главной
теоремы динамики, и мы получаем
(ab) - (af) = 2J mv cos а • 6s; (4)
формула (4) показывает, что при
2J mv cos а • 6s = 0 (5)
действия (af) и (aft) одинаковы.
Бесконечно малые линии /&, /^..., fnbn, удовлетворяющие условию (5),
вполне определены, так как они должны, кроме того, соединять точки
системы &, Ьп во втором движении с некоторыми соответственными
положениями этих точек f, fv...,fn в первом движении. Условимся называть
такие бесконечно малые линии линиями равного действия.
§3. Сравниваем теперь действие (adc) в действительном движении системы с
действием (abc) в каком-нибудь другом ее движении, кинематически
возможном и удовлетворяющем уравнению (1), причем постоянное h в этом
воображаемом движении то же, что и в действительном движении. Пусть будет
b, &i,..., Ьп - ряд положений точек системы в какой-нибудь момент
О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
427
второго движения. Проведем траектории ab, йуЬу,..., апЬп некоторого
действительного движения системы, при котором она, имея то же постоянное
h, переходит в некоторое время из а, аь..., ап в Ь, Ьъ..., Ьп. Это
вспомогательное движение будет вполне определенное, потому что для
определения его 3п - р + 1 начальных скоростей мы получим 3п - р
уравнений, выражающих, что точки системы вступают одновременно в Ь,
by,..., Ьп, да еще уравнение (1). Проведем траектории ае, axey,..., апеп
подобного же вспомогательного движения для точек e,elt...,en, бесконечно
близких к точкам Ь, Ьп, и вообще проведем траектории таких
вспомогательных
движений для всех положений точек системы на путях abc, йуЬуСу,..
.,апЬпсп.
Представим теперь действие (abc), исключая из него dt с помощью интеграла
(1), как это делает Якоби :
(abc) = J f2(U + h)2 mdP. (6)
Здесь dl, dlv..., dln суть элементарные пути, пройденные по траекториям
