Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
принять во внимание также рассмотренные Фарадеем и Максвеллом движения
электричества в изоляторах, которые имеют место при возникновении или при
исчезновении в них диэлектрической поляризации. Если таким путем
расширить закон Неймана, то под него подойдут и экспериментально
изученные до сего времени действия незамкнутых токов.
Однако и здесь имеется различие в форме функций по сравнению с функциями
для весомых масс. Для электродинамических явлений скорости электричества
входят в функцию второй степени, коэффициенты которой, однако, даже при
переходе к прямоугольным координатам не делаются постоянными в отличие от
того, что имеет место для масс в выражении кинетической энергии весомых
систем. Наконец, коль скоро в действие вступают постоянные магниты,
появляются линейные функции скоростей.
Как раз исследования формы кинетического потенциала, требуемой
максвелловой теорией электродинамики [154], привели меня к настоящим
предварительным рассуждениям.
Наконец, и учение о свете во всех основных вопросах может быть
согласовано с гипотезой о том, что эфир является средой со свойствами,
подобными свойствам твердого упругого весомого тела. Известные трудности
в теории отражения и преломления еще легче преодолеваются, если исходить
из максвелловой электромагнитной гипотезы. Можно быть того или другого
мнения, но нужно признать годность принципа наименьшего действия для
светового движения, по крайней мере, поскольку его явления объясняются
указанными теориями.
Отсюда ясно уже теперь, что область применимости принципа наименьшего
действия расширилась далеко за пределы механики весомых тел и что большие
надежды Мопертюи на его всеобщность приближаются, как кажется, к
осуществлению, как бы ни были скудны механические доказательства и как бы
ни были полны противоречий метафизические умозрительные рассуждения,
которые сам автор сумел привести в пользу своего нового принципа.
Уже теперь можно считать вероятным, что этот принцип является общим
законом для всех обратимых естественных процессов, что же касается
необратимых процессов, как, например, возникновение и распространение
'тепла, то эта необратимость заключается не в сущности предмета, а только
лишь
*) См. мои работы по теории электродинамики: Borchardt-Crelle Journ. f.
Math., т. 72, стр. 57 ; т. 75, стр. 35 ; т. 78, стр. 273, а также Н. Н е
1 m h о 11 z, Wissenschaftliche Abhandlungen, т. 1, стр. 545-628, 647-687
и 702-762.
434
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
в ограниченности наших средств, которые не позволяют нам вновь
упорядочить беспорядочные атомные движения или изменить направление
движения всех атомов, охваченных тепловым движением, на точно
противоположное первоначальному.
Во всяком случае, мне кажется, что всеобщая значимость принципа
наименьшего действия настолько не подлежит сомнению, что он может
претендовать на большую роль в качестве эвристического принципа и
путеводной нити в исканиях формулировок для законов новых классов
явлений.
У этого принципа имеется преимущество, которое заключается в возможности
объединить в узких рамках одной формулы все условия, влияющие на
изучаемый класс явлений, и таким образом окинуть взглядом все
существенное в них.
При таком положении вещей я счел нужным рассмотреть доказательство
обобщенного принципа и общие выводы. Этот обзор может быть весьма кратким
в тех частях, где речь идет о применении уже известных методов при
несколько расширенных допущениях. При этом я старался выделить именно те
следствия, которые относятся к условиям, доступным наблюдению, и которые,
будучи сформулированы, способны служить признаком пригодности принципа в
соответствующей области.
В § 1 изложена теорема о минимуме кинетического потенциала при самых
широких предположениях о природе функции Н и из этой теоремы выведены
уравнения движения в форме Лагранжа. Здесь же обсуждены те изменения, с
помощью которых эти обобщенные формы могут быть применены к изучению
системы подвижных тел.
В § 2 из нашей формы принципа выводится закон сохранения энергии и
показывается, как можно определить значение энергии из значения
кинетического потенциала. Мы имеем
где <7; - скорости. При этом обнаруживается, что, наоборот, не в каждом
случае, в котором установлено постоянство энергии, имеет силу и принцип
наименьшего действия. Последний, стало быть, высказывает больше, чем
первый, и нашей задачей является установить, в чем именно заключается эта
разница. Одновременно с этим приводятся некоторые конкретные механические
и физические процессы, с тем чтобы их можно было использовать в качестве
примеров, поясняющих содержание как двух первых параграфов, так и
последующих, и тем самым сделать более наглядным значение принципа.
В § 3 изложен разбор противоположной задачи, а именно задачи о том, как
вывести Н из Е. Это достигается интегрированием вышеприведенного
дифференциального уравнения, что вводит, следовательно, произвольные
постоянные интегрирования, которые должны быть однородными функциями
