Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
выражении (25) выразим Fk и Gk в функции от хк и рк, то получим наиболее
общее выражение
^Xkdxk + ^Pkdpk,
к к
удовлетворяющее соотношению вида
{Ft, ^ Хк dxk -f- ^Рк dpk) = dQ.
к
После этого искомое преобразование находится по ранее установленным
правилам.
13. Чтобы доказать в явной форме, что преобразования, найденные
указанным способом, вообще говоря, не являются касательными
преобразованиями, я приведу нижеследующие рассуждения.
Формулы (26), если обозначить через Хк и рк произвольные функции
переменных G2,..., Gn, Fv..., Fn, могут быть написаны так:
^к ~~ "ЭЁГ ('
я (к = 1 п)
Мк=~ъGF^QdG^) + ^
(27)
Если соответствующее преобразование должно быть касательным
преобразованием, то должно иметь место соотношение
^ LkdFk + ^ Мк dGk = ^ рк dxk + d*F = ^ Gk dFк -f- dll,
к к к к
откуда
и = Ок+-Щ-, Mk = -^ (к = 1, ..., п). (28)
Если положить
Л-$QdG1 = S,
422
СОФУС ли
то эти формулы дают вместе с формулами (27) уравнения
, л . 8S dS ,, 1 \
h - Gk + -/*к - -оо^ (к - I, ..., л).
Но так как Хк и рк, вообще говоря, являются произвольными функциями
переменных G2,..Gn, Fv..., Fn, то этим действительно доказано, что наши
преобразования лишь в виде исключения являются касательными
преобразованиями. Это приводит к следующей теореме:
Теорема III. Чтобы каноническую систему
Sx> = JW11' 3^ = -^д' <*=•........">
наиболее общим образом преобразовать в подобную же систему, поступают
так: удовлетворяют уравнению
2Pkdxk = 2GkdFk + dV
к к
наиболее общим образом и затем полагают
г п I ЭГ/ . ЭГ/ ,, , ч
Fk ^к Н Qpk * к Рк Н QGk • • • > ^)>
где TJ обозначает любую функцию переменных Fk и Gk, а Хк и рк -
произвольные функции переменных Г?2, •••, Gn, Fx,..., Fn. После этого
приводят выражение
2LkdFk + 2MkdGk
k k
наиболее общим образом к виду
Qi dYx + ... + QndYn + dY.
Тогда уравнения
' Qk = Qk > Ук = Yк
определяют наиболее общее преобразование требуемого типа.
14. Примечание. Если дано какое-либо выражение Пфаффа:
X | dx, -{- ... -{- Хп dx,, - X X dx,
то можно поставить себе задачей найти наиболее общее бесконечно малое
преобразование
Af= ^ + ¦¦ ¦ + %т .
которое удовлетворяет соотношению вида
A(2Xdx) = dQ,
а также дает
A{2Xdx) = 0.
Эти задачи всегда разрешимы. Если, в частности, т = 2п, и притом
нормальная форма XX dx л-членна с 2п независимыми функциями, то первая
задача требует только выполнимых операций.
Пусть, наоборот, дана полная система
А/ = 0, ..., Agf = 0.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
423
Предположим, что известно выражение
Хх dxx + ... + Хт dxm ,
которое удовлетворяет q соотношениям вида
A (U X dx) = dQ, (или = 0).
Поставим задачей наиболее полно использовать это обстоятельство. Если, в
частности, q = 1, т = 2п, и притом нормальная форма выражения
%Xdx
содержит 2п независимых функций, то интегрирование уравнений Д/ = 0
требует нескольких операций, число которых равно 2п-2,2п-4,..6,4,2.
В соответствующем месте я распространю все свои исследования по
дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка на
задачу Пфаффа.
Собственные аннотации
1. Наиболее общее преобразование
Хк = Хк (х^, ..., хп, pi, ..., рп),
Рк ~ (^1 > • • • > %п > Pl > • • • 1 Ргд '
которое превращает одновременно все совместные системы вида
dx^jfp-kdt' dpk=-4kdt {2)
в системы того же вида, согласно Якоби и Буру определяется уравнениями
(X,, Хк) = (X,, Рк) = (Р,, Рк) = 0, (Рк, Хк) = 1. (3)
Согласно исследованиям автора по касательным преобразованиям, написанные
соотношения одновременно определяют наиболее общую систему величин Х" Р"
которая удовлетворяет условному уравнению вида
Рг dX1 + ... + Р" dXn = pi dxx + ... + рп dxn = dQ.
Работа посвящена отысканию внутреннего основания этой связи между
теорией возмущений и теорией касательных преобразований.
Если требуется найти наиболее общее преобразование, которое только одну
систему (2) превращает в подобную систему, то соотношения (3) более не
являются необходимыми.
Все преобразования, которые удовлетворяют такому требованию, могут быть
определены.
2. В теории возмущений решается следующая задача:
Задача I.Определить наиболее общее преобразование
Хк = Хк (*! , . . ., Хп , pi, . . •, рп) ,
Рк Р*к (^1 > • • • > > Pl > • • • > Рп) >
424
СОФУС 'ЛИ
которое одновременно переводит все совместные системы вида . dF j,
. QF
dXk = ~^dt' dPk = -~mdt
в системы того же вида.
Якоби и Бур показали, что наиболее общее преобразование требуемого типа
определяется уравнениями
(Xt, xk) = (X,, Pk) = (Я,, pk) = о, (Я,-, х,) = 1.
С другой стороны, согласно более ранним работам автора в основе теории
касательных преобразований лежит следующая задача :
Задача II. Определить наиболее общим образом 2п величин Xlt..., Хп,
Pv..., Рп как функции переменных хх,..., хп, plt...,pn таким образом,
чтобы имело место соотношение вида
Pi dXx + ... + Рп dXn = р! dXi + ... + рп dxn + dV
в предположении, что V рассматривается как неопределенная функция
переменных хг,..., хп, pv..., рп-
