Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
abc, a-fiyCy,..anbncn. Пусть будет для некоторого элемента времени
dl = be, dly - by e1; ..., dln = bnen.
Проведем через точки b, by,..., bn линии равного действия
fb = ds, fyby = dsy, bn = dsn
и положим
fe - do, f1e1 = do1, ..., fn en = don.
Из бесконечно малых треугольников bfe, byfyev..., bnfnen получим
dP = do2 -f (5s2 - 2 do ds cos a.
Умножаем это уравнение на массу т точки а и берем сумму, распространенную
на все точки системы:
2 т dl2 = 2 т da* + ? mbs2 - 2 2J т do ds cos a.
Но по формуле (5)
2 m do ds cos a = dt 2 cos a = 0;
dt есть время, в которое система пробегает бесконечно малые пути fe,
/"<?". Мы получаем:
2 mdP> 2 т do2
или
1[2(U + h) 2 mdP > Щи +h) 2 т do*.
Подставляем сюда
У 2 (U + h) 2 т do2 = (fe) = (ае) - (ab) = d (ab).
Находим :
V2 (U + h) 2 m dP > d (ab).
Берем от обеих частей интеграл, распространенный на все движение по путям
abc, OybyCy,... \
J |/2 (U + h) 2 т dP >adc (7)
428
Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
ИЛИ по (6)
(abc) > (adc). (8)
Это равенство доказывает теорему Лагранжа.
§4. Обращаемся к принципу Остроградского. Условимся обозначать через [af]
следующий интеграл :
[af]=\(T + U)dt, (9)
о
распространенный на движение системы по траекториям af, axfx,..., anfn.
Вообразим бесконечно близкое движение по траекториям аЪ, а^,..anbni
совершающееся в то же время, и определим вариацию [ab] - [af]:
[ab] - [af] = J (-g- dx + Sy + -ff &) dt + о
t
, f v (dx ddx , dy dSy , dz ddz\ ..
+ .l^m(-s-3T + -" * +-аг-г-)л-
О
Здесь делаем такие же преобразования, как в § 2, полагая при этом бt = 0.
Получаем :
[ab] - [af] = 2 mvcosads. (10)
§ 5. Сравним теперь интеграл [adc ] в действительном движении системы с
интегралом [abc ] в некотором другом движении, возможном для нее
кинематически и совершающемся в то же время как действительное движение.
Пусть Ь, Ьъ..., Ьп будут положения точек системы в какой-нибудь момент
воображаемого движения. Проведем траектории ab, а^,..., апЬп некоторого
действительного движения, при котором точки системы вступают в b, blt...,
bn в то же время, как при воображаемом движении. Такое вспомогательное
действительное движение вполне определенное, потому что для отыскания его
Зп - р -f 1 начальных скоростей имеем 3п - р -f 1 уравнений, выражающих,
что точки системы вступают в данное время в b, bv..., bn. Проведем
подобным же образом траектории ае, ахег,..., апеп вспомогательного
движения для положения системы е,еъ...,еп, бесконечно близкого положению
Ь, Ьь..., Ьп, и для всех других ее положений на путях abc, ..., anbncn.
Возьмем на траекториях ае, а1е1,..., апеп точки /, /х,в которые система
вступает при вспомогательном движении в то же время, в которое она
вступает в точки Ь, Ьг,..., Ьп при воображаемом движении.
Из бесконечно малых треугольников bfe, bj^,..., bnfnen получаем подобно
предыдущему следующее неравенство :
Zmdl2> 2 т da2 - 2 % mdeds cos а.
Назовем через Т живую силу системы при движении по be, b^,.,., Ьпеп,
через Т' - ее живую силу при движении по fe, f^,fnen и через dt -
бесконечно малое время этих движений. Получим :
2mdP =2TdP,
2 m da2 = 2 T'dt2.
О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
429
Вследствие этого наше неравенство будет:
Tdt>T'dt-^m-^cosads.
Но по (10)
т cos a ds = [ab] - [af];
следовательно,
Т dt> Г dt + [af] - [ab].
Прибавляем к обеим частям U dt:
сТ + U)dt> (Г + U)dt + [af] - [ab].
Замечаем, что
(Г + U)dt = [fe] , [af] + [fe] = [ае], [ае] - [ab] = d [ab]. Получаем
(T + U)dt>d [ab].
Берем от обеих частей интеграл, распространенный на все движение :
/ (Т + U) dt > [adc] о
или
[abc] > [adc].
Это неравенство дает принцип Остроградского.
§6. Заметим, что данное нами доказательство начала наименьшего действия
неприложимо в некоторых случаях, указанных Якоби*); но это суть именно те
случаи, когда J 2Т dt под условием (1) не имеет ни минимума, ни
максимума. Подробное исследование этого вопроса мы надеемся предложить
читателю в приготовляемом нами к печати сочинении "О прочности движения".
*) С. Jacobi, Vorlesungen flber Dynamik, Berlin, 1866, стр. 46-47. [Есть
русский перевод : К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, 1936, стр. 41; см.
также стр. 297- 315 настоящей книги. - Прим. ред.]
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА
НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [ш]
Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы
под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа,
принадлежащую П. де Мопертюи*), которая, между прочим, лишь много позже
(это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и
полное доказательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и
наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого
предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном**)
[152]. Последний составил два дифференциальных уравнения, которые, как
показал К. Якоби, могут быть объединены в одно ; эти уравнения служат
исходным пунктом упомянутых выше, а также многих, других возможных
