Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
t ъи ди ,, , ч 3(7
_ Эр* ' Vk~ Зх* (ft - 1, .... Л), со - 9х .
Итак, имеет место следующая лемма : Лемма 3. Если выражение
tor(p1dx1+ ... + рп dxn),
образованное на основании уравнений
дхк = ?кдх, bPk = Pkbx (ft=l, .... л),
412
СОФУС ли
имеет вид
dW + (о dx,
то имеется такая функция V переменных х, xlt..., хп, pv.рп, что
t ъи 9 и , V ъи
к~~ дрк ' Vk~ ' 9xfc ^ П), (о ^ .
7. Мы будем далее искать наиболее общее выражение
2 X'<dxi< + 2pkdpk + xdx= w,
к=1 fc=l
8W • "
производная которого по х, составленная на основании уравнении
Зхк=-Щ^5х, <5p*=--g-<5x (Zr= 1, .п),
имеет вид
dQ + СО dx.
При этом предполагается, что К не является' "определенной величиной, а
рассматривается как неопределенная функция переменных х, х^..., х",
Pl,---, Рп-
Условное уравнение
д(tm)- = dQ + со dx принимает после выполнения соответствующих выкладок вид
dQ -(- oj dx = JHxk^L-J;Pkd J* -4-
к дрк к к дхк +
+ ?{р + к, Xk)dxk+2(P + K> Pk)dpk + (p + K,X)dx,
к
откуда
ЭЙ _ Э*К Vn ' 9'К , ^ v Ч
ЭХи к дркдХи к дХкдХи + Хи),
д° =2хк-^-2Рк-^- + (Р + к, р.).
dpv Эри dpv ^ dXk 3pv
3Q v Э2К -V1 n 32/C i /*, i гу' v\
0p,9x - 2 P'< ~~8xkdx~ + (P + К ' X)-a>.
Теперь мы составляем тождество
9 эй 9 эй
ЭPv дХи Эхц Эр" '
и, опуская взаимно уничтожающиеся члены, находим таким путем
^ ЭХк д2К ^ ЭРк дгК I (п \ гг &Хи Ч , ( ЭК Y 'I _
-f dpv ЪркЪхи ^ dpv дхкдхи -r\P~r*> dpvj^idpv ' Ли)
-у ЬХк д*К | у ЭР. Э2К_(п _i_ IS J^L) Г_(r)5_ р ) п
Эха dpicdpv +-f 3Х" дхи Эр" V ^ ' Эхи j I Эхи ' <7
•
Это соотношение должно существовать, какова бы ни была функция К.
Поэтому, если объединить члены, содержащие одну и ту же производную
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
413
от К, то коэффициенты при каждой из этих производных должны обращаться в
нуль. Это дает следующие соотношения :
Э Хк _ ЪРу q
9 Рг Эха -
ЭХ"
Ъру
ЪХи
Эх*
9 Ре
ЭХе
9 Хк Эхц
9
9 Хк 9
Ърк
Э
Эх
ЭХц дри
дРи Э РА дра
ЪРу '
при кфь,
ЪРи
ЪХи '
ЪРк
О,
(")
Г ЭХЦ _ _9/Vk п I Эре Эхи J и '
Г ЭХЦ 9Р*1_п
I Эре ЭХц J и '
Г ЭХЦ _ ЭРе'' = п I Эре Эхц J
Три последних уравнения показывают, что величина
ЪХу ЪРу
Э Ре
9хв
постоянна, а в силу уравнений (а) эта постоянная не зависит от v. Мы
имеем, следовательно,
или
Э(Хе-
ЭХе
Эр"
Apv)
dpv
ЪРу
Ъху
ЪРу
ЪХу
А = const,
(v = 1, ..л).
Рассуждая так же, как в п. 2, мы приходим к заключению, что величины Хк -
Арк и Р{ являются частными производными по хк и pt некоторой функции
переменных х, х1(..., х", ръ..., рп:
откуда
Хк Арк - Хк - АРк +
ъи
Эхк '
ъи
Р,=
Pi
ъи
ЪР1 '
ъи
Эха ' ' ' Эр/ и, таким образом, W имеет вид
A рк dxk + dU + q> dx.
к
Наоборот, легко убедиться в том, что это выражение всегда, т. е.. каковы
бы ни были постоянная А и функции U и <р, обладает требуемым свойством. В
самом деле, мы имеем:
414
СОФУС ли
Таким образом, мы можем сформулировать следующую лемму: Лемма 4. Если
выражение
|Р + X, Хк dxk -j- Р к dpk + X dx j ,
в котором Xk, Pk и X - заданные функции величин х, х1;..., хп, рх,...,
рп, а К означает неопределенную функцию тех же величин, всегда имеет вид
dQ -f" со dx,
какова бы ни была функция К, то выражению
J* Xk dxk + ^ Рк dpk + X dx
к к
можно придать вид
А рк dxk -{- dV -|- ср dx.
к
При этом А -> произвольная постоянная, а V и <р - произвольные функции
величин х,хх,..., хп, рх,..., рп.
8. Представим себе теперь, что в совместной системе
8Xk = T^8x' 8Pk=~l?rdx (*=1" •••"") и в выражении
W = p1dx1+ ¦ ¦ ¦ + рп dxn
вместо х, хх,..., хп, рх,..., рп введены новые переменные, скажем, х>
Уг,'--у Уп, Чь - Чп- При этом на величины ук сначала налагается лишь одно
ограничение, что они не зависят от хх,..., хп, рх,..., рп. Пусть
ЬУк = 'Пк&х, дчк = ?кдх (к = \, ..., л) (10)
- новый вид нашей совместной системы и пусть
Л* Рк dxk = J?Ykdyk + ^ Qkdqk -\-Y dx = W,
к к к
где Yk, Qk и Y - некоторые определенные функции новых переменных.
Вследствие формы, которую имеет W в старых переменных, имеет место
уравнение вида
-^-= dQ + со dx.
Если ввести здесь новые переменные, то получается
где выражение слева имеет обычный смысл.
Если теперь, в частности, преобразованная система (10), какова бы ни была
функция К, всегда имеет каноническую форму
8Ук - , ^Чк = ~Qy/T 8х' (к = 1, ..п),
то выражение W согласно предыдущей лемме должно иметь вид
A24kdyk + dV + ydx.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
415
Следовательно,
Л* Рк dxk = А ^ qk dyk + dV cpdx.
к к
Если к обеим частям этого уравнения прибавить величину р dx и обозначить
притом сумму <р + р через Aq, то получается
pdx + p1dx1 + ... + pndxn = A (qdx + q1 dyx + ... + qn dyn) + dV.
Этим доказывается, что наше преобразование можно считать касательным
преобразованием.
Теорема II. Если заданное преобразование между х, xlt..., хп, р, рь...,
рп и х, ух,..., уп, q, q1} - ¦qn обладает свойством переводить каждую
систему вида
dXi = -^~-dx, дрк=-^-дх (к=1, ..., п)
в подобную систему между новыми переменными в предположении, что К
обозначает произвольную функцию переменных х, х1?..., хп, р, рх,..., рп,
