Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 184

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 461 >> Следующая

то наше преобразование является касательным преобразованием, т. е. имеет
место соотношение вида
Р dx + Pi dx! -(-... рп dxn = A (qdx qx dyx qn dyn) + d V.
9. Пусть теперь задана определенная система
ЪХ ЭХ
8xk = -Q^8x> дРь= - -&Г8х (X, Xlt ...,xn,plt Рп),
которую желательно при помощи касательного преобразования перевести в
другую определенную систему
8ук = Щ~к8х' 8(1к=-^дх (.х> У1> ¦¦¦> Уп> <h> ¦¦¦> Яп)-
При искомом преобразовании уравнение
_9/__ ____d^L^L\ = 0 = (r)MX A
Эх ( Эх* Эрк дрк ЭХк) \Р > >/'
переходит в уравнение
Эх ^ { Ъук dqk ЭЧк Ъук) \Я 1 > I) >
где / обозначает неизвестную функцию переменных х, х1г..., хп, ръ..., рп
или же переменных х, yv..., уп, qx,..., qn.
Здесь нельзя заключить непосредственно, что р + X при рассматриваемом
преобразовании переходит в q -j- Y. Поэтому пусть
q + U(x,ylt ..., уп, qx, ... , q")
будет та функция, в которую преобразуется р + X. Тогда, согласно теории
касательных преобразований, (р + х, /) перейдет в (q V, /), так что
(Я + /) = (Я + /) >
откуда следует
(Y-U, /) = 0;
это уравнение должно оставаться в силе, если вместо / будет подставлена
любая функция переменных х, xlf..., хп, ръ..., рп, представляющая собой
416
СОФУС ли
инволюцию функции р 4- X. Таким образом, мы можем заключить, что Y - U
есть постоянная :
U=Y + A.
Следовательно, искомое преобразование переводит /) + Хв} + Г + А<* Чтобы
определить это преобразование наиболее общим образом, образуем две
канонические группы:
x,Xlt ..., Хп, р + Х, Р1 Рп, (11)
Yn, q + Y + A, Qlf ..., Qn, (12)
причем Xk, Pk суть функции переменных х, х1#..хш .............. a Yk,
Qk -
функции х, у1г..., уп, qn. Тогда уравнения
х = х, p + X = q + Y + A, Рк - Qk, Xk = Yk (к= 1п)
определяют искомое преобразование.
Между прочим, следует заметить, что величины (12) продолжают образовывать
каноническую группу, если положить постоянную А равной нулю. Поэтому
искомое наиболее общее преобразование между переменными х, х1(..х", Рх,-
.-, рп к переменными х, yL,- -., уп, qlf- -., qn находится путем перевода
р + Х самым общим образом при помощи касательного преобразования в q + Y.
§ 3. Приложения к механике и вариационному исчислению
Якоби, как известно, впервые показал, что интегрирование так называемых
канонических совместных систем
***= "Иг61 ' брк==~ H3t {k=1 п) (13)
допускает особые, свойственные этим системам преобразования. После того
Befciep(Weiler), Майер (Mayer), а также и я сам развили для
интегрирования таких систем еще более простые методы.
10. Поэтому, если нам дана какая-либо совместная система, то
рекомендуется поставить вопрос, нельзя ли ее привести к каноническому
виду. Известно, что Гамильтон привел дифференциальные уравнения механики
для широкого ряда случаев к этому виду. Якоби обратил внимание на
важность этого приведения и одновременно показал, что существует более
общая категория задач механики, которые можно облечь в данную форму.
Сейчас я выведу эту теорию Гамильтона-Якоби новым способом, опираясь на
предшествующее изложение. При этом я сначала рассмотрю простой случай
известного числа свободных точек, которые движутся под действием их
взаимного притяжения или также и под действием неподвижных точек.
Пусть Хх, х2,..., х" - координаты наших точек. Пусть U - силовая функция,
которая может также зависеть и от времени. Тогда, как известно, движение
определяется уравнениями
(к = 1, ..., п).
(к= 1............л), (14)
8 дхк 9U dt 8Г ~ дхк
Если мы положим
8хк
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
417
то будем иметь
<*=' ")¦ 05)
Чтобы привести уравнения (14) и (15) к канонической форме, нужно только,
как это непосредственно видно в этом простейшем случае, положить
\{у\ + ... + у*)-и = т.
В самом деле, тогда наши уравнения принимают вид
дхк ЭГ дук ЭГ
dt дук ' dt дхк
Это и есть тот путь, которым Якоби пришел к своему первому результату.
Для того чтобы иметь возможность обобщить эту теорию, целесообразно
поискать внутреннее основание полученного результата.
Так как введение величин xv..., х", уъ..., уп в качестве независимых
переменных приводит данную систему к каноническому виду, то на основании
предыдущего параграфа выражение
<5
(Уг dx 1 + • • • + уп dxn)
должно иметь вид
dQ + Qdt.
Это подтверждается следующим образом.
Мы имеем
-6j2ykdxk = 2^dxk + 2ykd^,
ш к к к
откуда на основании (14) и (15) находим
<5 ^ ^ ЭU . . ^ j Л,, , 1 ^ <Л 9U
dt-2Zykdxk = 2Z-^dxk + ^ykdyk = d(u + -j^yi) - &
dt,
в чем и заключается доказательство.
Обратимся теперь к общему случаю, когда координаты х1;..хп связаны
несколькими соотношениями, которые могут включать также и время t:
М*!, ..., хп, 0 = 0, ... , fq(x1, ..., хп, 0 = 0. (16)
При этом мы по-прежнему предполагаем существование силовой функции U.
Согласно Лагранжу движение определяется уравнениями
+ <*=1' ¦¦¦'"> <17)
совместно с уравнениями (16).
Естественно поставить вопрос, нельзя ли и теперь выражению
^ У k dxk
к
придать форму Мы находим
dQ + Q dt.
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed